Теоремы, аксиомы, определения

Что такое математика?

Задайте этот вопрос своим приятелям, спросите у знакомых, и в ответ вы скорее всего услышите что-нибудь вроде: «Это наука о числах и фигурах».

В самом деле, возьмем наугад любой раздел математики. Арифметика занимается числами. Они же подразумеваются под буквами в формулах алгебры. В геометрии речь идет о плоских фигурах и пространственных телах.

Между тем существуют такие отрасли математики, где ни числа, ни фигуры никакой видной роли не играют Вот книга по математической логике. Заглянем в нее. Формулы, которые встретятся нам тут, напоминают алгебраические. Однако буквы в них обозначают не числа, а фразы, чаще всего математического содержания. Их в логике именуют высказываниями. Фигуры же появляются здесь исключительно для иллюстрации.

А вот книга по теории групп. В ее формулах буквы истолковываются как математические операции. После таких примеров трудно утверждать, будто в числах и фигурах заключено нечто самое существенное для математики.

Так что же такое математика? Что в ней самое главное? Что прежде всего характерно для любого из ее разделов, любой ее теории?

Если вообразить математику в виде огромного дома, то ученых, чьими трудами возведен этот дом, естественно сравнить с каменщиками. И такое сравнение небезосновательно. Когда каменщик возводит стену, то каждый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и скрепляется с ними раствором. Точно так же в рассуждении математика каждое утверждение опирается на уже доказанные. Оно сцементировано с ними законами логики.

Каждый такой «кирпич» в математической «кладке», каждое утверждение математической теории, полученное из ранее доказанных на основании правил логического вывода, именуется теоремой. Конечно, математики в своих рассуждениях далеко не каждое умозаключение отмечают званием теоремы – есть у них и другие названия. Говорят, например, про признаки делимости чисел, про правила разложения полиномов на множители. Но если быть строгим в терминологии, каждое такое правило, каждый признак – одним словом, каждое математическое утверждение, получаемое путам логического доказательства, есть теорема.

Любая теорема или несколько теорем, в свою очередь, могут послужить обоснованием для какой-то новой теоремы. И подобно тому как здание складывается из кирпичей, любая математическая теория представляет собой совокупность теорем.

Логически последовательная стройность утверждений – вот самое существенное и характерное свойство математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших ее разделах – арифметике и геометрии. В числах и фигурах впервые воплотилось это отличительное свойство точной науки.

Со временем появились в математике и формулы, этот особый язык для записи выкладок и теорем, язык удобный, точный и емкий. Скажем, небезызвестную теорему Пифагора можно высказать словами: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Но математик предпочтет этой длинной фразе короткое равенство a² + b² = c².

Прямоугольный треугольник

В любом здании. спускаясь с верхних этажей все ниже и ниже, мы в конце концов добираемся до фундамента. Так можно перебирать и теоремы. Занявшись этим, мы рано или поздно доберемся до утверждений, истинность которых принимается без доказательства. Это аксиомы или постулаты.

Раскроем знаменитые «Начала» Эвклида. В течение многих веков эта книга служила для школьников учебником геометрии, для ученых – образцом математической строгости.

Уже на первых страницах своего трактата Эвклид перечисляет постулаты, на которые опирается в дальнейшем, выводя геометрические теоремы: «1. От всякой точки можно провести прямую линию. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, то эти две прямые, продолженные-неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» (то есть в сумме составляют меньше 180 градусов).

Посмотрим, как на таком фундаменте возводится здание эвклидовой геометрии.

С помощью своего, пятого постулата Эвклид доказывает, например, теорему о равенстве накрест лежащих углов при параллельных прямых – β и β', δ и δ' на нашем чертеже. В самом деле, сложим параллели так, как показано на рисунке ниже. Если бы накрест лежащие углы были не равны друг другу, то какие-то два угла, лежащих по одну сторону от AB тогда оказались бы в сумме меньше двух прямых и параллели встретились бы. Но это невозможно. Параллели на то и параллели, что не пересекаются нигде. Значит, накрест лежащие углы β и β', а также δ и δ' равны.

Углы при параллельных прямых

Следующий чертеж подсказывает нам, что углы α, β' и γ' в сумме равны двум прямым. Если заменить в этой сумме β' и γ' равными им углами треугольника ABC, то есть углами β и γ, то тем самым будет доказана известная теорема о том, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, то есть 180 градусам.

Доказательство суммы углов треугольника

Так и получается одна теорема за другой.