Дополнение множества

Сейчас чрезвычайно популярны тесты – от серьезных, научно обоснованных, с помощью которых определяют пригодность к той или иной профессии, до простеньких, шуточных, наполняющих развлекательные отделы популярных журналов. Не отстанем от века и мы. Дано:

Множества точек

Требуется дополнить каждую картинку непрерывной линией так, чтобы получились изображения хорошо известных предметов.

Отгадки, которые мы имели в виду, выглядят так: гриб, гаечный ключ, кость домино «один – пусто».

Дополненные множества

Если вновь обратиться к теории множеств (для разъяснения ее понятий и подбираем мы иллюстрации), то каждую линию следует трактовать как множество точек.

Возьмем какой-нибудь из рисунков-отгадок (скажем, гриб) и сопоставим его с соответствующим рисунком-загадкой. По условию нашего теста все, что было в загадочном наброске сохранилось и в завершенном контуре предмета. Иными словами, множества точек линии-отгадки и линии-загадки пересекаются. Дополняющая линия, очевидно, является их разностью, поскольку все ее точки принадлежат первому множеству (полному контуру предмета) и ни одна не принадлежит второму (фигуре-загадке).

Множества точек

Кстати, глагол «дополнить», который мы употребили по адресу этой линии, тоже имеет вполне научный смысл. Дело в том, что множество точек линии-загадки не просто пересекается со множеством точек линии-отгадки, но и целиком содержится в нем, является его подмножеством. Во всех тех случаях, когда множество-уменьшаемое включает в себя множество-вычитаемое, их разность называется дополнением второго множества до первого.

Так заплаты на штанах Чиполлино – это дополнение прорванных штанов до штанов, которые имеют приличный вид.

Так множество неравнобедренных треугольников дополняет множество равнобедренных до множества всех треугольников вообще.

Дополнение множества

Читатель, вероятно, уже догадался, что термин «дополнение» самостоятельного смысла не имеет: говоря о дополнении некоторого множества, всегда необходимо указывать, до чего же именно оно дополняется. Например, множество равнобедренных треугольников можно дополнить не только до множества всех треугольников, но и до множества всех многоугольников или до множества всех фигур на плоскости.

Бывают, однако, случаи, когда уточняющих справок не требуется. Мы говорим, например, о множестве нечетных чисел. Очевидно, оно служит дополнением для множества четных чисел. Но дополнением до чего? Ясно: до множества целых положительных чисел, до натурального ряда. И если мы говорим, что множество простых чисел дополняется множеством составных (то есть разложимых на множители), то и в этом случае понятно, что речь идет о дополнении до натурального ряда.

Как видим, множество натуральных чисел здесь (да и во всей теории чисел, кстати сказать) играет особую роль: все упомянутые нами числовые множества являются его подмножествами.

Если в каком-либо рассуждении подразумевается подобное «всеобъемлющее» множество, его называют универсальным (для данного рассуждения, теории и т.п.). И если в таких случаях говорят о дополнении какого-то множества, не указывая, до чего же именно оно дополняется, следует понимать, что дополняется оно до универсального множества.

Разумеется, в каждом конкретном рассуждении универсальное множество – свое.

Когда, например, мы говорим о какой-либо линий или фигуре на плоскости как о множестве точек, в роли универсального выступает множество всех точек плоскости.

Математика: