Длина вектора и расстояние между двумя точками

Теорема. Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат.

Координаты вектора

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются числа, равные разностям соответствующих координат его конца и начала. Координаты x и y вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: {x; y}; при этом говорят, что вектор имеет координаты {x; y}.

Вектор

Некоторые физические величины, например сила и скорость, задаются не только своим числовым значением (при выбранной единице измерения), но и направлением в пространстве. Такие физические величины называют векторными величинами или коротко — векторами.

Прямоугольная система координат

Если проведены две взаимно перпендикулярные оси координат Ox и Oy с общим началом O (рис. 37) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат. Оси Ox и Oy называются соответственно осью абсцисс и осью ординат, а точка O — началом координат. Система координат обозначается как: Oxy.

Система координат

Ось координат

Рассмотрим произвольную прямую l и отметим на ней какую-нибудь точку O (рис. 35, а). Точка O разделяет прямую l на два луча. Выберем один из них и назовем его положительной полуосью (на рисунке 35, а она отмечена стрелкой), а другой луч — отрицательной полуосью. Если, кроме того, выбрана единица измерения отрезков, то прямая l с выбранной положительной полуосью называется осью координат. Точка O называется началом координат. Ось координат с началом O обычно обозначают так: Ox.

Глава 7. Векторы и координаты

Эта глава посвящена векторно-координатному методу в геометрии, т. е. использованию векторов и координат. С понятием декартовой прямоугольной системы координат вы знакомы по курсу алгебры. Введение системы координат позволяет описывать геометрические фигуры, в частности окружности и прямые, с помощью уравнений, что дает возможность применять в геометрии алгебраические методы. Так, например, написав уравнения двух данных прямых, можно по виду этих уравнений установить, пересекаются эти прямые или нет.

Введение к учебнику геометрии, 9 класс

В 7 и 8 классах вы изучали свойства геометрических фигур на плоскости. При этом использовались различные приемы и методы в доказательствах теорем и решениях задач.

Заключение к учебнику геометрии

Как и в конце 7 класса, полезно теперь подвести итоги по 8 классу. Вы узнали много нового о геометрических фигурах, и не только о треугольниках и окружностях, которые были в центре нашего внимания в 7 классе, но и о различных видах четырехугольников, а также о правильных многоугольниках. Вы знаете теперь, что такое тригонометрические функции угла и как они помогают изучать свойства геометрических фигур и решать геометрические задачи Все изученное в 8 классе понадобится и в 9 классе, где вы продолжите заниматься планиметрией, и затем в старших классах, когда вы будете изучать стереометрию.

Историческая справка по геометрии

Аксиомы геометрии, «Начала» Евклида и геометрия Лобачевского. Основные принципы аксиоматического построения науки впервые отчетливо сформулировал Аристотель, развивая учения Пифагора и Платона. Аристотель отмечал, что при доказательстве того или иного утверждения мы опираемся на ранее установленные факты. Поэтому те положения, с которых мы начинаем построение науки, не могут быть логически доказаны – их следует принять в качестве аксиом. (Слово «аксиома» происходит от греческого слова «достойный».)

Pages