Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Пусть и — неколлинеарные векторы. Если вектор представлен в виде

= x + y,     (3)

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между векторами; скалярное произведение двух векторов, хотя бы один из которых нулевой, считается равным нулю.

Произведение вектора на число

Возьмем ненулевой вектор и число k ≠ 0. Построим такой вектор , что его длина равна |k|MA, и точка B при k > 0 лежит на луче MA, а при k < 0 лежит на продолжении луча MA. Вектор , и также любой равный ему вектор, называется произведением вектора на число k.

Свойства сложения векторов

Докажем теорему о свойствах сложения векторов.

Сумма векторов

Пусть и — данные векторы (рис. 56, а). Отложим от точки B вектор , равный вектору (рис. 56, б).

Вопросы и задачи "Координаты точки и координаты вектора"

1. а) Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисунке 55, если AO = a и CO = h.
б) Точка A лежит на положительной полуоси Ox, а точка B — на отрицательной полуоси Oy. Найдите координаты точки M пересечения диагоналей прямоугольника OACB, если OA = 4 и OB = 5.
в) Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты точки A, если B (4; 7) и M (–3; –2).
г) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (0; 0), B (3, 4) и C (5; 9).

Уравнение прямой

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Выведем уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0; y0) перпендикулярно к нулевому вектору {a; b} (рис. 52).

Уравнение окружности

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана какая-нибудь линия L (рис. 50). Равенство, содержащее координаты точек, называется уравнением линии L в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M (x; y) линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на линии L.

Линия и окружность на координатной плоскости

Угол между векторами

Пусть и — два ненулевых вектора. Отложим от произвольной точки M векторы = и = . Если лучи MA и MB не совпадают, то они образуют угол AMB (рис. 47).

Pages