Площадь многоугольника

С понятием площади мы часто встречаемся в повседневной жизни. Например, каждый из нас понимает, что означают слова «площадь квартиры равна пятидесяти шести квадратным метрам».

Равносоставленные многоугольники

Если один многоугольник разрезан на части и из них составлен другой многоугольник (так, что внутренние области любых двух частей не имеют общих точек), то исходный и полученный многоугольники называются равносоставленными. Например, квадрат со стороной 1 и равнобедренный прямоугольный треугольни с основанием 2 являются равносоставлеными (рис. 76).

Треугольник, равносоставленный квадрату

Приведем еще два примера равносоставленных многоугольников.

Глава 8. Площадь

Каждому из нас знакомы такие слова: «площадь комнаты равна 16 квадратным метрам», «площадь садового участка — 6 соток». В этой главе речь пойдет о том, как измеряются площади геометрических фигур, будут выведены формулы, по которым можно вычислить площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, круга. Некоторые их этих формул вы уже знаете. Например, вам известна формула площади прямоугольника. Но здесь мы дадим обоснование этой и ряда других формул.

Дополнительные задачи "Векторы и координаты"

§ 19
31. Четырехугольники ABCD и A1BC1D — параллелограммы. Докажите, что .

32. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Докажите, что .

33. Напишите уравнение окружности с центом на оси ординат, проходящей через точки A (3; 8) и B (–4; 1).

34. Является ли отрезок с концами A (–3; 4) и B (–7; –4) диаметром окружности (x + 5)2 + y2 = 20?

Вопросы для повторения "Векторы и координаты"

1. Объясните, что такое ось координат, начало координат, положительная полуось, отрицательная полуось.

2. Что называется координатой точки, лежащей на оси координат?

3. Докажите, что координата середины отрезка, лежащего на оси координат, равна полусумме координат концов этого отрезка.

4. Объясните, как вводится прямоугольная (декартова) система координат. Как называются оси координат?

5. Объясните, как определяются координаты точки в заданной прямоугольной системе координат. Как называются координаты точки?

Вопросы и задачи "Геометрические преобразования"

23. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный треугольник при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов.
б) Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси.
в) Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. На прямой a постройте точку M, для которой сумма MA + MB принимает наименьшее значение.

О подобии произвольных фигур

Центральное подобие является частным случаем так называемого преобразования подобия. Преобразованием подобия с коэффициентом k > 0 называется отображение плоскости на себя, при котором любые две точки A и B переходят в такие точки A1 и B1, что A1B1 = kAB. Примерами преобразования подобия являются движение (при этом k = 1), центральное подобие, а также результат их последовательного выполнения.

Преобразование подобия часто используется в геометрии. С его помощью можно ввести понятие подобия произвольных фигур:

Центральное подобие

Пусть O — данная точка, k — данное число, отличное от нуля. Центральным подобием (или гомотетией) с центром O и коэффициентом k называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит в такую точку M1, что = k. Сформулируем утверждение об основном свойстве центрального подобия.

Движения

Мы говорили, что осевая симметрия является отображением, сохраняющим расстояния. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением. Таким образом, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Из этого определения следует, что результат последовательного выполнения двух движений является движением (объясните почему).

В частности, последовательное выполнение двух осевых симметрий является движением, сохраняющим не только величину угла, но и его ориентацию.

Осевая симметрия

Пусть a — данная прямая. Каждой точке M сопоставим симметричную ей относительно прямой a точку M1 (рис. 67). В результате каждой точке M будет сопоставлена некоторая точка M1, и каждая точка M1 окажется сопоставленной некоторой точке M, т. е., как говорят, будет задано отображение плоскости на себя. Оно называется осевой симметрией, а прямая a — осью симметрии.

Осевая симметрия является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками. Поясним смысл этих слов.

Pages