Вопросы и задачи "Многогранники"

117. а) Тело T, объем которого равен V, составлено из трех тел: T1, T2 и T3. Сумма объемов тел T1 и T2 равна V1, а сумма объемов тел T2 и T3 равна V2. Найдите объем тела T2.
б) Докажите, что боковые грани правильной пирамиды являются равными друг другу равнобедренными треугольниками.
в) Найдите площадь грани ABC тетраэдра ABCD, если ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 90º и DA = DB = DC = 6 см.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник (т. е. многогранник, лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани) называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, к каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб: все его грани — равные квадраты, и к каждой вершине сходятся три ребра.

Построение сечений параллелепипеда

При построении сечений параллелепипеда мы будем руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии):
отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

Рассмотрим два примера.

Призма

Чтобы описать многогранник, называемый призмой, нам потребуются понятия параллельности двух плоскостей и двух прямых в пространстве. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (например, плоскости пола и потолка комнаты). Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Пирамида

Многогранник, называемой пирамидой, можно построить так.

Предмет стереометрии

До сих пор мы занимались планиметрией — изучали свойства геометрических фигур на плоскости. Раздел школьного курса геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

Глава 9. Некоторые сведения из стереометрии

Эта небольшая глава является введением в стереометрию, т. е. ту часть геометрии, в которой изучаются геометрические фигуры в пространстве. Представление о таких фигурах дают окружающие нас предметы. Мы расскажем о некоторых видах многогранников (пирамида, призма, параллелепипед, правильные многогранники) и о простейших телах и поверхностях вращения (цилиндр, конус, сфера, шар). Будут приведены формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей некоторых тел, а также рассмотрены задачи на построение сечений параллелепипеда.

Дополнительные задачи "Площадь"

§ 22
81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности.

82. Окружность касается стороны АВ = c и продолжении сторон ВС = a и СА = b треугольника АВС. Докажите, что этот треугольник равновелик прямоугольнику, одна из смежных сторон которого равна ½(a + b – c), а другая – радиусу окружности.

Вопросы для повторения "Площадь"

1. Какие многоугольники называются равносоставленными?

2. Докажите, что треугольник равносоставлен с прямоугольником. одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая – радиусу вписанной в него окружности.

3. Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Что такое квадратный сантиметр?

4. Какие свойства площадей называются основными?

5. Какие многоугольники называются равновеликими? В чем заключается теорема Бойяи–Гервина?

6. Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.

Вопросы и задачи "Длина окружности и площадь круга"

77. а) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в 3 раза? уменьшить в 2 раза? увеличить в k раз? уменьшить в k раз?
б) Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить на 1 см?
в) Длина окружности, вписанной в квадрат, равна l. Найдите длину окружности, описанной около этого квадрата.
г) Найдите радиус окружности, длина которой равна длине дуги окружности радиуса 24 см с градусной мерой 30º.

Pages