Абсолютная величина числа

Из некоторого пункта O выехали в противоположных направлениях два автомобиля. Первый прошел 40 км вправо от пункта O, второй прошел 50 км влево от того же пункта.

Желая показать не только пройденный путь, но и направление его, мы можем записать, что первый автомобиль прошел +40 км, или просто 40 км, а второй прошел –50 км.

Теперь ответим на следующий вопрос: какой из автомобилей прошел большее расстояние?

Противоположные числа

Числа 6 и –6 изображаются на числовой оси точками, находящимися на одинаковом расстоянии от начальной точки O, но по разные от нее стороны (черт. 4). Такие числа называются противоположными.

Противоположные числа на числовой оси
Определение. Два числа называются противоположными, если соответствующие им точки числовой прямой расположены по разные стороны от начальной точки и на одинаковом расстоянии от нее.

Числовая ось

Отметим на прямой произвольную точку О (черт. 2). Назовем ее начальной точкой. Выберем какую-либо единицу длины, например 1 см. Отложим на прямой вправо от точки О один за другим отрезки, равные 1 см. Конец первого отрезка обозначим числом 1, конец второго — числом 2 и т. д.

Положительные и отрицательные числа

положительные и отрицательные значения на термометре
Если на вопрос «Какова температура воздуха сейчас?» ответить: «Термометр показывает 40», то это не будет точным ответом: термометр может показывать 40 тепла или 40 холода (черт. 1).

Говорят также: 40 выше нуля и 40 ниже нуля. Эти пояснительные слова: «тепло», «холод», «выше нуля», «ниже нуля» - приходится добавлять потому, что температура от нуля изменяется в двух противоположных направлениях.

Краткие исторические сведения к главе "Алгебраические выражения"

Первые алгебраические сведения можно найти у древних народов.

В древнем египетском сочинении по математике (около 2000 лет до нашей эры) также содержались некоторые сведения из алгебры.

Основные законы сложения и умножения

В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображенными цифрами или буквами (безразлично), нам придется во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.

Напомним их.

1. Переместительный закон сложения.

Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:

a + b = b + a,

Порядок действий

Когда в арифметике над числами нужно было произвести различные действия, то мы производили их в порядке, установленном особыми правилами. Эти же правила остаются и в алгебре.

Напомним, что

  • сложение и вычитание называются действиями первой ступени;
  • умножение и деление называются действиями второй ступени.

Напомним теперь правила о порядке действий.

Допустимые значения букв

Из примеров, приведенных в § 1, заключаем, что буквы, входящие в какое-либо алгебраическое выражение, могут принимать иногда любые значения (первый пример), иногда лишь некоторые, но не любые значения (второй пример).

Определение. Значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, называются допустимыми значениями для этих букв.

Если выражение получилось в результате решения задачи, то совокупность, или, как принято говорить, множество, допустимых значений для букв определяется по смыслу самой задачи.

Алгебраические выражения

Решим задачу.

Ученик купил n тетрадей по 2 коп. за тетрадь и учебник за 8 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?

Чтобы узнать стоимость всех тетрадей, надо цену одной тетради умножить на число тетрадей. Значит, стоимость тетрадей будет равна Два умножить на n копейкам.

Стоимость же всей покупки будет равна

копейкам.

Использование букв в алгебре

В алгебре числа обозначают часто не цифрами, а  буквами. Приведем примеры.

Пример 1. Из арифметики известно, что сложение чисел обладает переместительным законом: сумма не изменяется от перестановки слагаемых.

Например:

5 + 7 = 7 + 5 = 12;
11 + 20 = 20 + 11 = 31 и т. д.

Pages