Деление

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Разделить одно число на другое — значит найти такое третье число, которое, будучи умножено на делитель, даст в произведении делимое:

a : b = c, если bc = a.

Основываясь на этом определении, выведем правило деления для рациональных чисел.

Прежде всего укажем раз навсегда, что делитель не может быть нулем. Деление на нуль исключается по той же причине, по которой оно было исключено в арифметике.

Законы умножения

Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

1. Переместительный закон.

Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

ab = ba.

Это следует из определения умножения рациональных чисел. В самом деле, мы берем произведение абсолютных величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в котором берем эти абсолютные величины.

Умножение нескольких чисел

Умножение нескольких рациональных чисел выполняется по тому правилу, по которому производится умножение нескольких чисел в арифметике.

Чтобы перемножить несколько рациональных чисел, надо найти произведение первых двух чисел, затем этот результат умножить на третий данный сомножитель, полученный результат умножить на четвертый и так далее до конца. Например:

(–3) * 4 * (–2) * (–5) * 6 =
= (–12) * (–2) * (–5) * 6 =
= 24 * (–5) * 6 =
= (–120) * 6 = –720

Но более употребителен другой способ умножения нескольких чисел.

Умножение

При установлении правил умножения для любых рациональных чисел положим в основу те же требования, что и для сложения рациональных чисел (см. § 12).

Возьмем опять задачу на изменение температуры.

Температура изменяется каждый час на a0. В настоящий момент термометр показывает 00. Сколько градусов покажет термометр через t часов?

Как и раньше, будем обозначать понижение температуры отрицательными числами.

Алгебраическая сумма

Рассмотрим выражение:

        (+7) – (+4) + (+2) – (–5) – (+3) + (–1),        (1)

обозначающее несколько сложений и вычитаний.

На основании правила вычитания мы можем все вычитания заменить сложением с числами, противоположными вычитаемым. Получим:

       (+7) + (–4) + (+2) + (+5) + (–3) + (–1).        (2)

Таким образом, все числа в выражении (1) стали слагаемыми.

Вычитание рациональных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Вычесть из одного числа другое — значит найти такое третье число, которое, будучи сложено со вторым числом, даст первое число.

Другими словами, вычесть из какого-либо числа a число b — значит найти такое третье число c, чтобы было справедливо равенство:

c + b = a.

Например:

Законы сложения

Убедимся в том, что при сложении рациональных чисел остаются в силе основные законы сложения, установленные для положительных чисел.

Переместительный закон. Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

a + b = b + a.

Это следует из правил сложения рациональных чисел.

Сложение нескольких чисел

Сложение нескольких рациональных чисел выполняется по тому же правилу, по которому производится сложение нескольких чисел в арифметике.

Чтобы сложить несколько рациональных чисел, надо сложить первые два слагаемых, затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое, к полученной сумме прибавить четвертое и так далее до конца.

Например:

(-7) + (+5) + (+2) + (-3) + (+9) =
= (-2) + (+2) + (-3) + (+9) =
= 0 + (-3) + (+9) =
= (-3) + (+9) = +6.

Сложение рациональных чисел

Нам нужно теперь установить правила действий с рациональными числами, то есть правила сложения, вычитания, умножения и деления любых рациональных чисел. Начнем со сложения.

Постараемся установить такое правило сложения рациональных чисел, чтобы выполнить три следующих требования:

Сравнение рациональных чисел

Мы умеем сравнивать между собой любые положительные числа, то есть всегда сможем указать, какое из двух данных положительных чисел больше и какое меньше.

Теперь, когда введены новые, отрицательные числа, нужно установить правило сравнения этих чисел как между собой, так и с положительными числами.

Для этого обратимся к числовой оси. Посмотрим, как расположены на ней положительные числа, сравнивать которые мы уже умеем.

Pages