Коэффициент

Мы знаем, что одночлен представляет собой произведение числового (записанного цифрами) множителя и букв, каждая из которых берется в определенной степени. Числовой множитель имеет специальное название — коэффициент и ставится обычно на первое место. Так, например, число 4 является коэффициентом одночлена 4a2xy.

Тождества и тождественные преобразования

Путь даны два алгебраических выражения:

1) 2(x + 5) – 4    и    2) 2x + 6.

Составим таблицу значений каждого из этих выражений при различных числовых значениях буквы x.

Таблица значений

Мы видим, что при всех тех значениях, которые давались букве x, значения обоих выражений оказывались равными. То же будет и при всяком другом значении x.

Одночлен и многочлен

1. Рациональные алгебраические выражения. В предыдущих главах рассматривались пять действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

В настоящей главе будем рассматривать алгебраические выражения, составленные с помощью этих пяти действий. Все такие выражения называются рациональными.

Из истории отрицательных чисел

Еще несколько тысяч лет назад потребности в измерении привели к расширению множетства натуральных чисел, которыми до тех пор пользовались люди. Были введены новые, дробные числа, с помощью которых стало возможно производить измерения (длин, площадей, веса и пр.) с любой степенью точности, допускаемой инструментами.

Не так обстояло дело с отрицательными числами. В практической деятельности людей не ощущалась потребность во введении отрицательных чисел, и они прочно вошли в математику и получили применение лишь в XVII веке.

Графики

1. График равномерного движения. Решим задачу. Пионеры в походе шли со скоростью 3 км в час. Какое расстояние они прошли за t часов?

Если искомое расстояние обозначим через s, то получим:

s = 3t.

Решение задач с помощью уравнений

В дальнейшем, по мере изучения алгебры, будет видно, какую огромную роль играют уравнения в решении задач. С помощью уравнений легко решаются многие задачи, которые с большим трудом или даже совсем не могут быть решены арифметически, причем арифметическое решение обычно бывает очень сложным и громоздким. Примеры таких задач будут даны в дальнейших разделах алгебры. Здесь же дадим примеры решения с помощью уравнений некоторых простых задач.

Уравнения

Задача. К некоторому числу прибавили 8 и получили 17. Найти это число.

Решим задачу так: обозначим неизвестное число какой-либо буквой, например a. Прибавим к нему 8, получим a + 8. Но по условию задачи эта сумма должна быть равна 17. Значит,

a + 8 = 17.

Здесь a и 8 являются слагаемыми, а 17 — их суммой. Каждое из двух слагаемых равно их сумме минус другое слагаемое. Значит,

Порядок выполнения действий

Возведение в степень считается арифметическим действием третьей ступени. Если алгебраическое выражение содержит различные арифметические действия, то сперва производится возведение в степень, как действие высшей (третьей) ступени, затем умножение и деление (действия второй ступени) и, наконец, сложение и вычитание (действия первой ступени).

Поясним сказанное примерами.

Пример 1.

4 * 52 : 2 = 4 * 25 : 2 = 50.

Первым произведено возведение в квадрат (действие третьей ступени).

Возведение в степень

В арифметике сложение равных чисел рассматривается как новое действие — умножение.

При этом число-слагаемое пишется только один раз, а за ним (после знака умножения) пишется число множитель, которое показывает, сколько раз надо взять слагаемым первое число. Например:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5;
.

В алгебре умножение равных между собой чисел рассматривается как новое действие, которое называется возведением в степень.

Свойства деления

Отметим свойства деления, известные из арифметики: эти свойства остаются в силе для любых рациональных чисел.

1. Деление суммы.

Чтобы разделить сумму нескольких чисел на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и результаты сложить.

Пример.

[12 + (–28) + 32] : 4 = 16 : 4 = 4
и
12 : 4 + (–28) : 4 + 32 : 4 = 3 + (–7) + 8 = 4.

2. Деление произведения.

Pages