Задачи с практическим содержанием по геометрии, 9 класс

Глава 7

1. Пловец переплывает реку шириной 50 м за 1 мин 40 с. Скорость течения реки равна 1 м/с. Найдите: а) тангенс угла между вектором скорости реки и направлением результирующего движения пловца (с учетом сноса по течению); б) величину скорости движения пловца в этом направлении.

Задачи повышенной трудности "Введение в стереометрию"

220. Прямые AB и CD не пересекаются и не параллельны. Могут ли прямые AC и BD быть параллельными?

221. В тетраэдре ABCD углы ADB, ADC и BDC прямые. Докажите, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

222. В тетраэдре ABCD сумма углов с вершиной A (т. е. углов BAC, CAD и DAB) равна 180º. Докажите, что грани этого тетраэдра равны друг другу.

223. Изобразите куб и постройте такое его сечение, которое является: а) правильным треугольником; б) квадратом; в) правильным шестиугольником.

Задачи повышенной трудности "Площадь"

182. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

183. а) Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прямых AB, BC и CA равна высоте треугольника. б) Внутри правильного шестиугольника ABCDEF отмечена точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников ABM, CDM и EFM равна сумме площадей треугольников BCM, DEM и FAM.

Задачи повышенной трудности "Векторы и координаты"

151. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C тогда и только тогда, когда для любой точки M имеет место равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA.

152. Четырехугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC — параллелограммы. Докажите, что четырехугольник AFHG также является параллелограммом.

153. Докажите, что четыре точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

Дополнительные задачи "Введение в стереометрию"

§ 24

127. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в 4 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер.

128. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке.

129. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1, если АС = 12 и АА1 = 4.

Вопросы для повторения "Введение в стереометрию"

  1. Какая поверхность называется многогранником? Что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника? Приведите примеры многогранников.
  2. Какая плоскость называется секущей плоскостью данного тела? Что такое сечение тела?
  3. Какие свойства объемов тел называются основными?
  4. Объясните, какой многогранник называется n-угольной пирамидой. Что такое основание, боковые грани, вершина, боковые ребра и высота пирамиды? Какая пирамида называется правильной?
  5. Какой формулой выражается объем пирамиды?

Вопросы и задачи "Тела и поверхности вращения"

121. а) Найдите объем цилиндра, радиус которого равен 2 см, а высота равна радиусу.
б) Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Найдите отношение объема правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, к объему цилиндра.
в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра радиуса 2 см, если его высота вдвое больше длины окружности основания.
г) Найдите отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров, первый из которых получен вращением прямоугольника АВСD вокруг прямой АВ, а второй – вращением вокруг прямой ВС.

Сфера и шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (рис. 112). Данная точка называется центром сферы (точка O на рисунке 112), а отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой, – радиусом сферы.

Сфера

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Поскольку центр сферы является серединой диаметра, то диаметр сферы радиуса R равен 2R.

Конус

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOP и представим себе, что он вращается вокруг катета OP. В результате получается тело, которое называется конусом (рис. 110).

Части конуса

Цилиндр

Рассмотрим прямоугольник OO1M1M и представим себе, что он вращается вокруг своей стороны OO1. В результате получается тело, которое называется цилиндром (рис. 107).

Цилиндр

Pages