Уравнение первой степени с одним неизвестным

Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида

    ax + b = 0,    (1)

где x – неизвестное число, a (коэффициент при неизвестном) — любое данное число, не равное нулю, b (свободный член) — любое данное число.

Уравнение (1) называется уравнением первой степени, потому что его левая часть есть многочлен первой степени относительно неизвестного x.

Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях

До этого мы решали уравнения, в которых неизвестное входило в одну часть уравнения. Но могут быть уравнения, которые содержат неизвестное в обеих частях, например:

3x – 17 = 18 – 2x.

Мы сумеем решить уравнение такого вида, если сможем преобразовать его так, чтобы члены, содержащие неизвестное, оказались только в одной части уравнения (то есть приведем уравнение к такому виду, который мы уже умеем решать).

Воспользовавшись первым свойством уравнения, мы легко решим уравнение

Два основных свойства уравнений

Покажем на примерах, что уравнения обладают следующими двумя важными свойствами:

Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то ж число или один и тот же многочлен, содержащий неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

Примеры.

1. Пусть дано уравнение:

6x + 7 = 31.

Решив его, найдем единственный корень: x = 4.

Прибавим к обеим частям уравнения одно и то же число 15:

Равносильные уравнения

Решим уравнения:

1) 2x – 5 = 11 и 2) 7x + 6 = 62.

Получим:

1) 2x = 16 и 2) 7x = 56,
1) x = 8 и 2) x = 8.

Оба эти уравнения имеют один и тот же единственный корень.

Определение. Два уравнения называются равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое.

Уравнения первой степени с одним неизвестным

Из предыдущего мы знаем, что равенства, содержащие буквы, могут быть двух родов: тождества и уравнения.

Тождество (см. § 29) — это такое равенство, которое верно при любых (допустимых) значениях входящих в него букв. Так, например, формулы сокращенного умножения:

(a + b)(a – b) = a2 – b2, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Примеры решения уравнений

Задача. Каждую сторону квадратной площадки увеличили на 2 метра, при этом ее площадь увеличилась на 12 квадратных метров. Чему была равна сторона площадки?

Решим эту задачу составлением уравнения.

Пусть x — длина (в метрах) стороны площадки; тогда площадь этой площадки будет равна x2.

Деление многочлена на одночлен

Воспользуемся правилом деления суммы (§ 21).

Применим это правило к делению многочлена на одночлен.

Пусть надо выполнить деление:

(6a4b2 – 7a2b + 3,6a2b3) : 2a2b.

Разделив на 2a2b каждый член многочлена, получим:

3a2b – 3,5a + 1,8b2.

Проверим умножением частного на делитель:

Деление одночленов

1. Деление степеней одного и того же основания. Пусть требуется разделить 25 на 22:

25 : 22 = 32 : 4 = 8 = 23.

Итак,

25 : 22 = 23.

Точно так же:

36 : 34 = 32.

Проверка. 32 * 34 = 36.

a5 : a3 = a2.

Общие замечания о делении целых алгебраических выражений

Как известно из арифметики, при делении целых чисел не всегда можно получить целое частное. В этом случае говорят, что делимое не делится нацело на делитель. Например, 17 не делится нацело на 5.

В таких случаях записывают частное в виде дробного числа, беря делимое числителем, а делитель — знаменателем. Например:

Введение дробных чисел сделало возможным деление любых чисел (кроме деления на нуль).

Формулы сокращенного умножения

При выполнении различных алгебраических преобразований встречаются часто некоторые частные случаи умножения. Получающиеся при этом произведения полезно запомнить наизусть, чтобы в дальнейшем, когда эти случаи встретятся, можно было сразу написать результат, не производя каждый раз почленного умножения. Равенства, выражающие эти частные случаи умножения, называются формулами сокращенного умножения.

1. Квадрат суммы. Возведем в квадрат сумму двух чисел a и b.

Pages