Понятие об алгебраической дроби

1. Определение алгебраической дроби. В § 42 было сказано, что если деление многочленов нельзя выполнить нацело, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель, – знаменателем.

Примеры дробных выражений:

Числитель и знаменатель дробного выражения и сами могут быть дробными выражениями, например:

Деление многочленов при помощи разложения на множители

В арифметике выполнение действия деления можно упростить, если делимое и делитель разложены на множители. Пусть, например, требуется разделить число 2772 на 28. Разложив (способами, известными из арифметики) число 2772 на множители, получим:

2772 = 22 * 32 * 7 * 11.

Зная, что 28 = 22 * 7, мы можем выделить в делимом сомножитель, равный делителю:

2772 = (22 * 7) * (32 * 11).

Разложение многочленов на множители

При разложении на множители заданного выражения прежде всего следует посмотреть, не имеют ли все его слагаемые общего множителя. Вынесение за скобки всех общих множителей является операцией, которую надо выполнить в первую очередь.

После этого следует рассмотреть многочлен, заключенный в скобках. Может случиться, что он в свою очередь допускает разложение каким-либо из способов, рассмотренных в § 56 и 57.

В таком случае это разложение и нужно выполнить.

Применение формул сокращенного умножения

Иногда многочлен удается разложить на множители, применив одну из формул сокращенного умножения (§ 41). Запишем третью из формул § 41 в обратном порядке:

a2 – b2 = (a + b)(a – b).

В левой части этого равенства двучлен, в правой же он представлен в виде произведения, то есть разложен на множители.

Значит, разность квадратов двух чисел можно представить в виде произведения суммы этих чисел на их разность.

Способ группировки

Пример 1. Разложить на множители выражение:

    c(a – b) + d(a – b).    (1)

Вынося общий множитель a – b, получим:

    (a – b)(c + d)    (2)

Между тем если бы выражение (1) было дано в виде

    ac – bc + ad – bd,    (3)

Вынесение за скобки общего множителя

Пример 1. Пусть дан многочлен:

6a2 – 8ab + 4a.

Легко видеть, что все его члены имеют общим множителем 2a, так что можно это выражение записать в таком виде:

2a * 3a – 2a * 4b + 2a * 2.

Применив распределительный закон, получим:

Понятие о разложении на множители

Пусть требуется найти числовую величину выражения

ab + ac – ad

при

a = 37, b = 26, c = 17 и d = 23.

Подставив заданные значения букв, найдем:

37 * 26 + 37 *17 – 37 * 23 = 962 + 629 – 851 = 740.

Но можно найти числовую величину этого выражения гораздо быстрее и легче, если преобразовать его.

На основании распределительного закона можем записать:

ab + ac – ad = a(b + c – d).

Краткие исторические сведения. Из истории уравнений

Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались уравнения, а также задачи, решаемые с помощью уравнений.

Так, в египетском папирусе около 2000 лет до нашей эры (причем, как указывает в нем автор, писец Ахмес, это математическое сочинение является копией с другого, более древнего сочинения) имелись задачи на отыскание неизвестного числа. Это неизвестное называлось «хау» (куча) и обозначалось особым иероглифом.

Вот примеры задач из этого папируса.

1) «Неизвестное, его седьмая часть, его целое составляет 19».

Решение задач с помощью уравнений

Вспомним, в каком порядке мы до сих пор решали задачи с помощью уравнений.

Общие указания к решению уравнений

Во многих случаях решение уравнений сводится к тому, что мы данное уравнение заменяем другим, ему равносильным, но более простым, это другое заменяем третьим и так продолжаем до тех пор, пока не получим самое простое уравнение вида x = a, которое прямо указывает, что неизвестное должно быть равно числу a. Следовательно, x = a должно быть корнем и всех предыдущих равносильных ему уравнений, в том числе и данного.

Pages