Дробные уравнения

До сих пор мы решали только уравнения целые относительно неизвестного, то есть уравнения, в которых знаменатели (если таковые имелись) не содержали неизвестное.

Часто приходится решать уравнения, содержащие неизвестное в знаменателях; такие уравнения называются дробными.

Примеры.
1.     (1)

Возведение дроби в натуральную степень

Чтобы возвести данную дробь, например , в квадрат, надо эту дробь умножить саму на себя. Применив правило умножения дробей, получим:

Мы видим, что у получившейся дроби числитель равен квадрату числителя, а знаменатель равен квадрату знаменателя данной дроби.

Возведем данную дробь в куб:


Мы видим, что у получившейся дроби числитель и знаменатель равны кубу числителя и знаменателя данной дроби.

Деление дробей

Рассматривая деление как действие обратное умножению, получим следующее правило для деления дробей:

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Докажем справедливость этого равенства. Умножим полученное частное на делитель:

Получили делимое. Значит, деление произведено верно.

Умножение дробей

Правило умножения алгебраических дробей такое же, как и для арифметических дробей.

Правило. Чтобы перемножить дроби, надо перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем произведения:

Так как целое выражение можно рассматривать как дробь со знаменателем, равным единице, то приведенное правило применяется и в том случае, когда некоторые из сомножителей — целые выражения.

Вычитание дробей

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: вычесть одно выражение из другого — значит найти такое третье выражение, которое, будучи сложено с вычитаемым, даст уменьшаемое.

Отсюда следует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Сложение дробей

Задача 1. В первом классе роздали a тетрадей, во втором b тетрадей. Каждый ученик получил по m тетрадей. Сколько было учеников в обоих классах?

Решим задачу двумя способами.

1-й способ.

1) Сколько было учеников в первом классе?

учеников.

2) Сколько было учеников во втором классе?

Приведение дробей к общему знаменателю

Основное свойство дроби дает возможность алгебраические дроби с различными знаменателями преобразовать в тождественные им дроби с одинаковыми знаменателями (говорят: привести дроби к общему знаменателю).

Такое преобразование приходится производить, как и в арифметике, при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.

Из рассмотрения нескольких примеров выведем общее правило приведения дробей к общему знаменателю.

Целая отрицательная и нулевая степени числа

В практике часто для краткого обозначения больших чисел пользуются степенями числа 10. Так, например, среднее расстояние от Земли до Солнца в миллионах километров (приближенно) равно 150 млн. км. Это число можно записать так: 150 000 000 км или кратко: 150 * 106км. Средний радиус земного шара в миллионах метров выражается числом 6,37 (млн. м); кратко это число запишется так: 6,37 * 106м.

Перемена знака у членов дроби

Из основного свойства дроби вытекает, что величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на –1, например:


Но умножение любого числа на –1 только меняет его знак на противоположный. Итак:

Значение дроби не изменяется, если изменить знаки числителя и знаменателя на противоположные:


К такому преобразованию дробей приходится иногда прибегать, например, при их сложении.

Основное свойство дроби и сокращение дробей

Дробь, у которой числитель и знаменатель являются любыми рациональными числами (при условии, что знаменатель не равен нулю), обладают следующим основным свойством:

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же не равное нулю число:

,

где m может быть любым числом — целым и дробным, положительным и отрицательным, но не равным нулю.

Для алгебраической дроби основное свойство формулируется так:

Pages