Решение системы уравнений

Систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными можно решить несколькими различными способами.

1. Способ алгебраического сложения.

Примеры.

1. Решим систему:

Коэффициенты при у в обоих уравнениях одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому если вместо, например, первого уравнения возьмем суммы данных уравнений, то в этой сумме сократятся члены, содержащие неизвестное y.

Равносильные системы

Понятие равносильности для систем уравнений определяется так же, как и для уравнений (см. § 47).

Определение. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения каждой из них являются решениями и другой.

Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными, например:

(1)

Каждое из них имеет бесконечное множество решений.

Поставим вопрос: среди всех этих решений не будут ли общие для обоих уравнений?

Такие общие решения могут быть, а могут и не быть.

Так, общим решением данных уравнений будет x = 3, y = 5, что легко проверить подстановкой. (Дальше будет показано, что других общих решений эти уравнения иметь не могут.)

Уравнение первой степени с двумя неизвестными

В главе IV мы изучали уравнения, содержащие одно неизвестное; однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Определение. Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел x и y равна 7; это можно записать при помощи следующего уравнения с двумя неизвестными:

Обратно пропорциональная зависимость

1. Определение обратно пропорциональной зависимости.

Наряду с прямо пропорциональными величинами в арифметике рассматривались также и величины обратно пропорциональные.

Приведем примеры.

1) Длины основания и высоты прямоугольника при постоянной площади.

Пусть требуется выделить для огорода прямоугольный участок площадью в 600 кв. м.

Линейная зависимость

1. Определение линейной зависимости.
Задача. Пионерский отряд отправился из города в поход. Сейчас он находится в 5 км от города и идет со скоростью 3 км в час. На каком расстоянии от города он будет через x часов?

График прямо пропорциональной зависимости

Рассмотрим прямо пропорциональную зависимость с некоторым определенным коэффициентом пропорциональности. Например, y = 3x. При помощи системы координат на плоскости можно наглядно изобразить данную зависимость. Объясним, как это делается.

Дадим x какое-нибудь числовое значение; положим, например, x = 2 и вычислим соответствующее значение y; в нашем примере y = 3 * 2 = 6.

Прямо пропорциональная зависимость

В арифметике уже изучались прямо пропорциональные величины.

Приведем примеры таких величин.

1) Путь (при равномерном движении) и время, в течение которого этот путь пройден.

Пусть скорость равномерного движения равна 3 км в час. Обозначим длину пройденного пути через y, а число часов, за которое этот путь пройден, через x; тогда зависимость между этими двумя величинами выразится равенством:

y = 3x.

Координаты точки на плоскости

Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси: первая ось OX и вторая ось OY (черт. 20а). Эти оси будем называть осями координат. Первая ось OX (изображенная на чертеже 20а в горизонтальном положении) называется осью абсцисс. Вторая ось OY (изображенная на чертеже 20а в вертикальном положении) называется осью ординат.

Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами

Покажем на примерах решение уравнений первой степени с буквенными коэффициентами.

Пример 1. Решить уравнение:

    a(x – 2) + 3x = a(x + 2) – 3,     (1)

где a — данное число.

1) Раскроем скобки:

    ax – 2a + 3x = ax + 2a – 3     (2)

2) Перенесем члены, содержащее неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:

3x = 2a – 3 + 2a

Pages