Треугольники

В большинстве геометрических задач речь так или иначе заходит о треугольниках.

Проведя диагональ BD в прямоугольнике ABCD, мы получи два равных прямоугольных треугольника ABD и CDB.

Прямоугольник разбивается диагональю на два треугольника

Равенство этих треугольников позволяет сделать вывод о том, что площадь каждого из них в 2 раза меньше площади прямоугольника.

Умножение дроби на натуральное число

Как известно, сумма одинаковых натуральных чисел — это произведение одного из них на число слагаемых. Точно так же сумма одинаковых дробей — это произведение одной из этих дробей на их количество в сумме:

Сумма одинаковых дробей, выраженная через произведение

По правилу сложения дробей с равными знаменателями в левой части равенства получается

Применение правила сложения дробей

Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями

Рассмотрим отрезки AF, AB и FM.

Отношения отрезков

С помощью дробей можно выразить длины отрезков AF и FM через длину отрезка AB:

AF = 2/5AB, FM = 4/5AB.

Найдем теперь длину отрезка AM, равную сумме длин отрезков AF и FM.

Понятие о долях и дробях

Вы уже встречались с долями, которые образуются при делении целого на равные части. Так, например, при делении целого на 7 равных частей получаются седьмые доли, при делении на две равные части получаются вторые доли (их называют половинами), при делении на три равные части — третьи доли (трети), а при делении на четыре — четвертые доли (четверти).

Формулы и уравнения

Как известно, пройденный путь равен произведению скорости и времени движения. Обычно величину пройденного пути обозначают буквой s, скорость движения — буквой v, а время — буквой t. Почему для обозначения пройденного пути стали использовать букву s, неизвестно, а выбор букв v и t легко объяснить тем, что они являются первыми буквами французских слов vitesse - «скорость» и temp - «время».

Эти обозначения приводят к формуле пути s = vt. Само слово формула переводится с латыни как «форма» или «правило».

Буквенные выражения

Разные числовые выражения могут иметь одинаковые значения. Так, например, 23 + (7 + 18) = (23 + 7) + 18 = 48. В исходном выражении мы для облегчения устных вычислений переставили скобки. Тем самым мы применили сочетательный закон сложения.

При записи сочетательного закона сложения нужно показать, что его можно применять к любым числам. С этой целью в математике числа обычно заменяют строчными латинскими буквами a, b, c, d, … . Тогда для любых чисел a, b и c сочетательный закон сложения будет выглядеть так:

a + (b + c) = (a + b) + c.

Объем прямоугольного параллелепипеда

На рисунке вы видите круг, четырехугольник, в котором проведены его диагонали, и шестиугольник.

Фигуры на плоскости

А на рисунке ниже эти фигуры раскрасили, и они, как говорят художники, приобрели объем, т. е. как бы вышли из плоскости в пространство.

Объемные фигуры

Каждая из фигур представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью. Такие пространственные фигуры называют геометрическими телами.

Площадь прямоугольника

Длины отрезков мы измеряли с помощью линейки, а величины углов — с помощью транспортира. Еще одну из основных геометрических величин — площадь обычно приходится вычислять.

Числовые выражения

С числами часто выполняют арифметические действия. Чтобы показать, какие арифметические действия следует выполнить, из чисел, знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения.

Правило чтения числовых выражений
После слов сумма, разность, произведение и частное числа читают в родительном падеже.
Например, 25 + 11 — сумма двадцати пяти и одиннадцати;
78 – 9 — разность семидесяти восьми и девяти;
25 * 2 — произведение двадцати пяти и двух;
12 : 6 — частное двенадцати и шести.

Измерение углов

Нам часто придется иметь дело сразу с несколькими углами. Если один из углов можно наложить на другой так, чтобы они совпали, - углы равны. На рисунке изображены два угла 1 и 2. При наложении угол 1 совпадает с углом 2, следовательно, эти углы равны: ∠1 = ∠2.

Равные углы

Pages