Теорема косинусов

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему косинусов.

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, CA = b. Докажем, например, что

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.

Теорема синусов

Теорема. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Доказательство. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Докажем, например, что BC = 2R * sin A.

Если отрезок BC — диаметр описанной окружности (рис. 100, а), т. е. BC = 2R, то ∠A = 90º, поэтому sin A = 1 и BC = 2R * sin A.

Сторона треугольника и синус противолежащего угла

Синус и косинус углов от 90º до 180º

Докажем сначала, что
для любого угла α из промежутка 0º < α < 90º справедливы равенства

sin α = 2sin α/2 * cos α/2, cos α = 2cos2 α/2 – 1.     (1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠A = α, ∠C = 90º. Продолжим катет CA на отрезок AD, равный AB, и проведем высоту AH треугольника ABD (рис. 99, а). Так как треугольник ABD равнобедренный, и его внешний угол при вершине A равен α, то BH = HD и ∠B = ∠D = α/2 (рис. 99, б). Из прямоугольного треугольника ABH находим:

Вопросы и задачи "Косинус и синус острого угла"

131. а) Найдите отношение отрезков AB = 9 см и CD = 12 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в километрах?
б) Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1. Найдите A1B1, если AB = 8 мм, CD = 5 см и C1D1 = 2 дм.
в) Пропорциональны ли изображенные на рисунке 98: отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB и CD отрезкам FH и GH; отрезки AB, BC и CD отрезкам FH, EF и EG?

Золотое сечение

Рассмотрим отрезок AB и точку M, лежащую на нем. Говорят, что отрезки AM и MB образуют золотое сечение, если AM/AB = MB/AM (рис. 96), т. е. отношение большей части отрезка ко всему отрезку равно отношению меньшей части к большей. Это отношение принято обозначать греческой буквой φ (фи). Поскольку AM = φAB, MB = φAM = φ2AB и AM + MB = AB, то φAB + φ2AB = AB, откуда для числа φ получается квадратное уравнение φ + φ2 = 1, положительный корень которого выражается равенством φ = (√5 – 1)/2.

Теорема Пифагора

Теорема, которую мы сейчас докажем, называется теоремой Пифагора и является одной из важнейших теорем геометрии.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 94) и докажем, что AB2 = AC2 + BC2.

Поскольку AC = AB · cos A и BC = AB · sin A, то

Среднее геометрическое и среднее арифметическое двух отрезков

Отрезок XY называется средним геометрическим отрезков AB и CD, если XY2 = AB · CD.

Обратимся к рисунку 92. Так как

AH · HB = AB2 · cos2 A · sin2 A,
CH = AC · sin A = AB · cos A · sin A,

то CH2 = AH · HB, т. е. высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она разделяет гипотенузу. На этом факте основано решение следующей задачи на построение.

Синус острого угла

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе. Синус острого угла α обозначается символом sin α (читается «синус альфа»).

Прямоугольный треугольник

На рисунке 91 катет BC является противолежащим углу A, поэтому sin A = BC/AB. Заметим, что

cos B = BC/AB = sin A,

а

cos A = AC/AB = sin B.

Поскольку ∠B = 90º – ∠A, то

Косинус острого угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе. Косинус острого угла α прямоугольного треугольника обозначается символом cos α (читается «косинус альфа»).

На рисунке 89 катет AC является прилежащим к углу A, поэтому косинус угла A равен отношению AC/AB, т. е.

cos A = AC/AB.

Косинус угла

Докажем, что

Пропорциональные отрезки

В 7 классе мы обсуждали вопрос о том, как измеряются отрезки в сантиметрах. За единицу измерения отрезков можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.

Pages