Построение трех правильных многоугольников

С помощью циркуля и линейки построим золотое сечение данного отрезка PQ (см. п. 71), т. е. построим на нем такую точку M, что a/b = (b – a)/a, где a = PM и b = PQ (рис. 115, а). Затем построим равнобедренный треугольник ABC со сторонами BC = a, AB = AC = b и на его стороне AB отложим отрезок AD = a (рис. 115, б).

Метод подобия

Метод подобия при решении задач на построение состоит в том, что сначала, используя только часть данных, строят фигуру, подобную искомой, а затем, привлекая остальные данные, строят искомую фигуру. Приведем пример решения задачи на построение методом подобия.

Задача. Построить треугольник ABC с данным острым углом B, в котором AB : BC = 3 : 2 и высота CD равна данному отрезку PQ.

Построение пропорциональных отрезков

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач на построение. Приведем два примера.

Задача. Разделить данный отрезок AB на отрезки AM и MB, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.

Теоремы об отрезках пересекающихся хорд и о квадрате касательной

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Признаки подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники A1B1C1 и ABC, у которых A1B1 = kAB, B1C1 = kBC, ∠B1 = ∠B (рис. 108). Докажем, что C1A1 = kCA и, следовательно, ∆A1B1C1 ~ ∆ABC.

Свойство углов подобных треугольников

Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры (две вложенные друг в друга матрешки, здание и его макет и т. д.). В геометрии такие фигуры называются подобными. Изучение подобных фигур мы начнем с определения подобных треугольников.

Определение. Два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Подобные треугольники

Вопросы и задачи "Теоремы синусов и косинусов"

137. а) Найдите синус и косинус углов в 120º, 135º и 150º.
б) Постройте тупой угол A, если sin A = ¾.
в) Докажите, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
г) Найдите тангенс и котангенс углов в 30º, 45º, 60º, 120º, 135º и 150º.
д) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AB = BC = a и ∠A = α.
е) Дан треугольник ABC, в котором ∠A = 80º, ∠B = 70º и AB = 9. Найдите угол C и приближенные значения AC и BC.

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 в зависимости от расстояния d между их центрами (рис. 105). Для определенности будем считать, что радиус первой окружности не меньше радиуса второй окружности (r1 ≥ r2). Рассмотрим все возможные случаи.

О построении треугольника по трем сторонам

Вернемся к вопросу, поставленному еще в 7 классе: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, если каждый из данных отрезков меньше суммы двух других?

Решение треугольников

Решением треугольников называется нахождение всех его элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-либо трем данным элементам, определяющим треугольник.

Pages