Об аксиомах и основных понятиях геометрии

Основные понятия. Ранее (и. 45) мы говорили о том, что не все утверждения можно доказать. Некоторые из них, самые очевидные, принимаются в качестве исходных положений (аксиом), а затем уже на их основе доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия В связи с этим возникает вопрос можно ли дать определения всем понятиям, которыми мы пользуемся в геометрии? Например, отрезком АВ мы назвали геометрическую фигуру, состоящую из двух данных точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между точками А и В. Таким образом, отрезок определяется с помощью трех понятий.

Исследовательские задачи по геометрии

  1. Придумайте такое условие параллельности двух данных прямых, которое является: а) необходимым, но недостаточным; б) достаточным, но не необходимым.
  2. Исследуйте, при каком условии задача о построении треугольника. а) по трем медианам; б) по трем высотам имеет решение.
  3. Постройте треугольник по углу A и сторонам AC и BC и исследуйте, при каком условии задача: а) имеет решение; б) имеет единственное решение; в) имеет два решения; г) не имеет решений.
  4. Исследуйте, сколько различных точек может быть среди тех 9 точек, через которые проходит окружность Эйлера.

Проектные задачи по геометрии

Проектные задачи выполняются с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика».

Глава 4

Задачи по геометрии с практическим содержанием

Глава 4

1. С помощью одного лишь угольника (рис. 117) проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой.

2. С помощью одного лишь угольника постройте середину данного отрезка.

3. На листе бумаги нарисованы отрезки двух лучей, образующих угол, вершина которого лежит вне листа. С помощью циркуля и линейки постройте ту часть биссектрисы этого угла, которая лежит на листе бумаги.

Задачи повышенной трудности "Решение треугольников"

246. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что CD3 = AB * AE * BF и AE2 + BF2 + 3CD2 = AB2.

247. Дан треугольник ABC. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых MB2 + AC2 = MC2 + AB2.

Задачи повышенной трудности "Многоугольники"

214. Сколько углов, меньших 10º, может иметь выпуклый многоугольник?

215. Пять углов выпуклого многоугольника равны 140º каждый, а остальные углы – острые. Найдите число сторон этого многоугольника.

216. Дан выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что A1A2 – A4A5 = A5A6 – A2A3 = A3A4 – A6A1.

Задачи повышенной трудности "Параллельность"

198. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через эти точки проведены секущие MP и CD, не пересекающиеся внутри ни одной из окружностей (точки M и C лежат на одной окружности, а точки P и D – на другой). Докажите, что MC || PD.

199. Две окружности пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная к первой окружности, пересекающая вторую окружность в точке B, а через точку P – прямая, параллельная прямой AB и пересекающая вторую и первую окружности в точках C и D. Докажите, что AB = CD.

Дополнительные задачи "Решение треугольников"

§ 16

149. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то sin α > sin β, и обратно: если sin α > sin β, то α > β.

150. Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то cos α < cos β, и обратно: если cos α < cos β, то α > β.

151. В трапеции ABCD основание AD равно 5, AB = 3, BD = 4, отрезок CM — перпендикуляр к прямой BD. Найдите синус угла BCM.

Вопросы для повторения "Решение треугольников"

  1. Объясните, как измеряются отрезки. Что называется отношением двух отрезков? Как связано отношение двух отрезков с длинами этих отрезков?
  2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?
  3. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника? Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

Вопросы и задачи "Подобные треугольники"

143. а) Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.
б) Стороны AB, BC и CA треугольника ABC пропорциональны сторонам DE, EF и FD треугольника DEF, ∠C = 50º и ∠D = 70º. Найдите остальные углы треугольников.
в) На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что ∆ABM ~ ∆ABC. Найдите AB, если BM = 4 и CM = 5.
г) Диагональ AC разделяет трапецию ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 3 на два подобных треугольника. Найдите AC.

Pages