Треугольники

В большинстве геометрических задач речь так или иначе заходит о треугольниках.

Проведя диагональ BD в прямоугольнике ABCD, мы получи два равных прямоугольных треугольника ABD и CDB.

Прямоугольник разбивается диагональю на два треугольника

Равенство этих треугольников позволяет сделать вывод о том, что площадь каждого из них в 2 раза меньше площади прямоугольника.


Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь любого треугольника можно найти, представляя ее в виде суммы или разности площадей соответствующих прямоугольных треугольников.

Нахождение площадей треугольников по сумме и разности площадей прямоугольных треугольников

Общим катетом прямоугольных треугольников ABH и CBH является перпендикуляр BH = h, опущенный на сторону AC треугольника, как на первом рисунке, или на ее продолжение, как на втором рисунке.

Этот перпендикуляр является наименьшим из отрезков, соединяющих точку B с прямой AC.

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на сторону или ее продолжение, называют высотой треугольника.

Сторону, к которой проводится перпендикуляр, часто называют основанием треугольника. Используя понятия основания и высоты, можно сформулировать следующий вывод.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, опущенную на это основание.

Острые углы двух прямоугольных треугольников, на которые прямоугольник разрезается своей диагональю, составляют два прямых угла, значит, сума острых углов одного прямоугольного треугольника в два раза меньше, т. е. 90°.

Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, мы можем найти сумму углов любого треугольника. Оказывается, что для этого его достаточно разрезать на два прямоугольных треугольника. Сумма углов треугольника ABC равна суме острых углов прямоугольных треугольников AHB и CHB. Эта сумма равна 180°.

Нахождение суммы углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°.

Разные способы сложения прямоугольных треугольников

На первом рисунке получился равнобедренный треугольник, а на втором рисунке — четырехугольник, который своей диагональю BD делится на два равнобедренных треугольника с общим основанием. Равнобедренный треугольник похож на греческую букву Δ – дельта, поэтому такой четырехугольник называют дельтоидом.

Наиболее часто нам будет встречаться дельтоид, составленный из двух равных равнобедренных треугольников. Такой дельтоид имеет собственное имя — ромб. Все стороны такого четырехугольника равны между собой.

Ромб
Четырехугольник, все стороны которого равны между собой, называется ромбом.

С прямоугольным треугольником связана одна из самых знаменитых теорем геометрии — теорема Пифагора. Греческое слово теорема означает «доказанное утверждение». Теорема Пифагора задает соотношение между катетами a и b и гипотенузой c прямоугольного треугольника. Докажем ее.

Доказательство теоремы Пифагора

На рисунке квадрат со стороной a + b разрезан на части двумя способами. Если убрать из каждого квадрата по четыре равных белых треугольника, то площади оставшихся частей квадратов будут равны. На первом рисунке останется квадрат со стороной c, а на втором — два квадрата со сторонами a и b. Значит, с2 = a2 + b2.

Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

Только у прямоугольных треугольников сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны.

Математика: