Площадь прямоугольника

Длины отрезков мы измеряли с помощью линейки, а величины углов — с помощью транспортира. Еще одну из основных геометрических величин — площадь обычно приходится вычислять.

За единицу площади принимают площадь квадрата, длина стороны которого равна единице длины. На рисунке 79 сторона квадрата равна 1 см, поэтому его площадь называют квадратным сантиметром. В квадратных сантиметрах удобно указывать, например, площадь страницы учебника, в квадратных метрах — площадь квартиры, сельскохозяйственные поля изменяют в гектарах, а для площадей стран обычно используют квадратные километры.

Длина прямоугольника ABCD на рисунке 80 равна 3 см, а его ширина 2 см. Этот прямоугольник состоит из 6 квадратов, сторона каждого из которых равна 1 см. Значит, площадь прямоугольника равна 6 квадратным сантиметрам.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

При вычислении площади прямоугольника его длина и ширина должны быть выражены в одних и тех же единицах. Например, если длина прямоугольника 3 см, а его ширина 25 мм, мы переводим длину в миллиметры (3 см = 30 мм) и только затем находим площадь этого прямоугольника: 30 * 25 = 750 (мм²).

Стороны квадрата имеют одинаковую длину, и его площадь находится как произведение двух равных множителей.

Произведения нескольких равных множителей часто встречаются в математике, поэтому для них ввели специальное обозначение — степень. Так, например, произведение 5 * 5 * 5 * 5, состоящее из четырех множителей, каждый из которых равен 5, можно записать в виде степени 5⁴.

Число 5 называют основанием степени.
Число 4 называют показателем степени.

Правило чтения степеней
Выражение 5⁴ читается: «пять в четвертой степени».

Площадь квадрата со стороной 7 см равна 7² квадратных сантиметров. Поэтому часто вместо слов «семь во второй степени» говорят «семь в квадрате» или «квадрат семи». Используют обозначение степени и для сокращенного указания единиц площади. Например, вместо слов квадратный сантиметр пишут см². Так, площадь квадрата со стороной 7 см равна 49 см².

Удобно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся цифрой 5.

Правило возведения в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5
Число десятков умножают на следующее за ним натуральное число и приписывают к результату 25. Например 75² = 5625, так как 7 * 8 = 56; 105² = 11025, так как 10 * 11 = 110.

При отсутствии скобок сначала выполняется умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Важно запомнить, что вычисление степеней, которое называется возведением в степень, выполняется раньше, чем умножение и деление.

Выразим сторону квадрата, равную 1 м, в сантиметрах, получим 1 м = 100 см. Тогда его площадь, выраженная в см², равна 100² см² = 10 000 см². Значит, 1 м² = 10 000 см².

Можно вывести и соотношения между площадями других квадратов, сторонами которых являются известные единицы длины. Зная, что 1 км = 1000 м, нетрудно выразить квадратные километры в квадратных метрах: 1 км² = 1 000 000 м².

Иначе обстоит дело с двумя другими особенно часто используемыми в сельском хозяйстве единицами площади — аром (а) и гектаром (га). За 1 а приняли площадь квадрата со стороной 10 м. Приставка «гекто», которая обозначается буквой «г», перед любой единицей измерения увеличивает ее в 100 раз, т. е. 1 га = 100 а.

Задачи на площадь прямоугольника

1. Площадь прямоугольника равна 125 дм², а его длина 25 дм. Найдите ширину прямоугольника.
2. Ширина прямоугольника равна 32 мм, а его длина на 19 мм больше. Найдите площадь прямоугольника.
3. Найдите площадь квадрата со стороной 11 м.
4. Морская миля равна 1852 м. Выразите квадратную милю в единицах площади: 1) м²; 2) дм².
5. Длина прямоугольного поля равна 500 м, а ширина — 300 м. Найдите площадь поля и выразите ее в арах и гектарах.
6. Площадь прямоугольника 72 м². Одна из его сторон равна 6 м. Какая сторона прямоугольника больше и на сколько?
7. Квадрат и прямоугольник имеют одинаковые периметры. Площадь какой фигуры больше? Проведите исследование, если периметр равен: 1) 16 см; 2) 32 см.
8. Как изменится площадь квадрата, если его сторону: 1) увеличить в 2 раза; 2) уменьшить в 3 раза?