Бесконечные десятичные дроби

В предыдущем пункте вы научились делить десятичные дроби на натуральные числа и использовали это умение для перевода обыкновенных дробей в десятичные. Во всех случаях на каком-то шаге деления в остатке получался нуль, и деление заканчивалось. Однако так бывает далеко не всегда. Попробуем, например, перевести в десятичную дробь число 1/3. Для этого число 1 будем делить на 3.

Пример получения бесконечной десятичной дроби

Можно, конечно, и дальше продолжать процесс деления, но, очевидно, что ничего нового это нам не принесет. Мы все время будем записывать в частном очередную тройку, получать в остатке 1, дописывать к ней нуль, делить на 3, записывать в частном следующую тройку, получать в остатке 1 и т. д.

Понятно, что мы никогда не получим в остатке нуль, а значит, деление никогда не закончится.

В частном у нас получается десятичная дробь 0,33333... .

После запятой в этой дроби стоит бесконечно много цифр, поэтому ее называют бесконечной десятичной дробью.

Возникает естественный вопрос, как записать эту дробь. Ведь нельзя же записать бесконечно много цифр, даже если все они одинаковые.

Договорились бесконечно повторяющуюся цифру или группу цифр называть периодом дроби и записывать в скобках:

0,3333... = 0,(3); 3,250474747... = 3,250(47).

Сами такие дроби получили название бесконечных периодических десятичных дробей.

В числе 0,3333... сразу после запятой бесконечно повторяется цифра 3. В числе 3,2504747... бесконечное повторение цифр 4 и 7 начинается с разряда десятитысячных.

Правило чтения периодической дроби
При чтении периодической дроби сначала читается число, стоящее перед периодом, а затем число, стоящее в периоде.
Например, 25,1(34) читается так: «двадцать пять целых, одна десятая и тридцать четыре в периоде».

Определяя координаты точки на координатном луче, мы последовательно выясняем, чему равна целая часть координаты, какая цифра стоит в разряде десятых, сотых, тысячных и т. д. Однако этот процесс может оказаться и бесконечным. Так, на следующих рисунках показано начало бесконечного процесса определения координаты точки C, равной 1/3.

Невозможность определения координаты бесконечной десятичной дроби

Конечно, если знать заранее, что координата точки C равна 1/3, проще было бы перевести дробь 1/3 в десятичную дробь делением: 1/3 = 0,(3).

Математика: