Буквенные выражения

Разные числовые выражения могут иметь одинаковые значения. Так, например, 23 + (7 + 18) = (23 + 7) + 18 = 48. В исходном выражении мы для облегчения устных вычислений переставили скобки. Тем самым мы применили сочетательный закон сложения.

При записи сочетательного закона сложения нужно показать, что его можно применять к любым числам. С этой целью в математике числа обычно заменяют строчными латинскими буквами a, b, c, d, … . Тогда для любых чисел a, b и c сочетательный закон сложения будет выглядеть так:

a + (b + c) = (a + b) + c.

С помощью буквенных выражений можно записать и другие законы арифметических действий:

  • переместительные законы сложения a + b = b + a и умножения a · b = b · a;
  • сочетательные законы сложения a + (b + c) = (a + b) + c и умножения a · (b · c) = (a · b) · c;
  • распределительный закон (b + c) · a = b · a + c · a.

Довольно часто в выражения вместе с буквами входят и числа, такие выражения тоже называют буквенными.

Правило чтения буквенных выражений:
Буквенные выражения читаются также как и числовые, например a(b + c) — это произведение a и суммы b и c.
В отличие от чисел буквы при чтении не склоняются, поэтому выражение x + y читается как «сумма икс и игрек», а выражение y - z — «разность игрек и зэт».
Буквы x, y и z мужского рода. Поэтому, например, равенство x = 3 читается: «икс равен трем». Все остальные буквы относятся к среднему роду.
Равенство c = 5 читается: «цэ равно пяти».

Законы арифметических действий применяются не только к числовым, но и к буквенным выражениям. Так, например, используя распределительный закон умножения, можно заменить выражение 2 · b + 5 · b более простым:

2 · b + 5 · b = (2 + 5) · b = 7 · b.

Обычно перед буквой и перед скобкой знак умножения не ставят, считая, что ab = a · b, 7b = 7 · b, 5(c + d) = 5 · (c + d), ab : c = a · b : c. Тогда (b + c) a = ba + ca.

Числа, буквы, знаки арифметических действий и скобки — это слова языка, на котором говорит математика. Как и в обычном языке, из этих слов составляют различные выражения. Часто мы приходим к числовым и буквенным выражениям в результате перевода на математический язык условий задачи.

Задача. У Коли в коллекции m марок, а у Саши — на 7 марок больше. Сколько марок у обоих мальчиков вместе?
Решение. У Саши есть m и еще 7 марок, т. е. m + 7 марок. Сложим число Колиных марок с числом Сашиных.
m + (m + 7) = (m + m) + 7 = 2m + 7 (марок).
Ответ. У Коли и Саши вместе 2m + 7 марок.

Сколько бы марок ни было у Коли, мы можем заменить этим числом букву m в выражении 2m + 7 и найти значение полученного числового выражения. Если, например, у Коли 85 марок, то при m = 85 получаем 2 · 85 + 7 = 177. Говорят, что 177 — это значение буквенного выражения 2m + 7 при m = 85.

Задачи на буквенные выражения

  1. Запишите в форме буквенного выражения: а) распределительный закон умножения относительно вычитания; б) распределительный закон деления относительно сложения; в) свойство умножения любого числа на число 1; г) свойство деления нуля на любое отличное от нуля число.
  2. Запишите в виде буквенного выражения: а) разность a и 34; б) сумма x и 15; в) частное 56 и b; г) произведение c и 3; д) разность произведения чисел 2 и d и числа k; д) сумма произведения чисел 3 и c и числа 4.
  3. С помощью знака умножения запишите соотношения между буквами в равенстве: 1) a : b = 3; 2) 7 : c = d; 3) k : 9 = m; 4) z : t = 1; 5) n : p = 0.
Математика: