История натуральных чисел

Слово арифметика происходит от греческого слова арифмос, что означает «число». Можно сказать, что арифметика — это наука о числах и действиях с ними.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Египте, Вавилоне, Китае и Индии, накопленные математические знания которых были развиты и продолжены учеными Древней Греции.

Термин натуральное число впервые употребил в VI в. в своей книге «О введении в арифметику» Боэций — римский ученый, переводивший на латынь работы математиков прошлого.

Натуральные числа служат фундаментом всей математической науки.

Первыми записями чисел были зарубки на деревянных брусках, а позднее черточки. Для обозначения больших чисел стали применять специальные знаки-цифры. Вы познакомились с арабскими цифрами, составляющими основу десятичной нумерации.

В Древней Руси для записи чисел использовались буквы алфавита. Чтобы отличить буквы от цифр, над буквами ставили специальный знак — титло. Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв — десятки, а последние десять букв — сотни. Число десять тысяч называли словом тьма.

В таблице показана связь между некоторыми старинными русскими (славянскими), арабскими цифрами и современным русским алфавитом.

Обозначение славянских цифр

В Древнем Риме была создана своя система нумерации. Римские цифры мы можем увидеть на фронтонах некоторых старинных зданий, в книгах, где ими нумеруют главы, да и номер нашего двадцать первого века обычно записывают в римской системе счисления.

В римской нумерации есть семь основных цифр, которыми являются буквы языка древних римлян — латыни.

Римские цифры

Существует несколько гипотез о происхождении римских цифр. Одни считают, что V обозначает раскрытую ладонь с пятью пальцами, а X — две скрещенные руки. Другие же полагают, что к появлению знака X привело перечеркивание десяти черточек, а V — это половина от X.

Где бы в записи числа ни стояла римская цифра, она всегда обозначает одно и то же число. Однако и в римской системе счисления есть некоторые правила записи чисел.

Правила записи чисел в римской системе

  1. Одна и та же цифра не записывается подряд более трех раз.
  2. Меньшая цифра (цифра, соответствующая меньшему числу), стоящая справа от большей, показывает, что числа следует сложить, а меньшая цифра, стоящая слева от большей, - что меньшее число надо вычесть из большего. При этом могло быть только шесть вариантов такого вычитания: IV, IX, XL, XC, CD, CM.
  3. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. Например, число MDCCLXXIX = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 10 + (10 - 1) = 1779.

Современная десятичная запись натуральных чисел появилась в Индии в VI в. В VII-VIII вв. ее переняли арабы, а затем с ней познакомились и в странах Европы, где ее назвали арабской. Интересно, что сами арабы по-прежнему называют свою систему индийской. Как ни странно, но до XVIII в. в Европе в официальных документах разрешалось использовать только римские цифры, и лишь с начала XIX в. арабскую нумерацию стали применять повсеместно.

В 1703 г. вышел первый российский учебник математики «Арифметика сиречь наука числительная ...». Автором учебника был преподаватель Школы математических и навигацких наук Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739). В учебнике использовались современные арабские цифры, однако год издания книги и номера страниц были даны в славянской нумерации. Русские названия арабских чисел непосредственно связаны с десятичной системой счисления. Так, например, шестнадцать означает «шесть на десять», шестьдесят - «шесть десятков», а шестьсот - «шесть сотен».

Под округлением натурального числа понимают замену его таким ближайшим по значению числом, в котором одна или несколько последних цифр заменены нулями.

До XV в. общепринятых арифметических знаков не было. В XV-XVI вв. стали применять для сложения букву p — первую букву слова plus (более), а для вычитания букву m — первую букву слова minus (менее). Использовали также латинское слово et (союз «и»), которое в скорописи постепенно превратилось в знак «+». Современные знаки «+» и «-» стали встречаться в 80-х гг. XV в. Знак умножения «×» был введен в 1631 г. английским математиком Вильямом Оутредом (1574-1660). Точку для обозначения умножения стал использовать знаменитый немецкий математик XVII в. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Он же предложил двоеточие для обозначения действия деления. Знак «=» был введен английским врачом Робертом Рекордом в 1557 г.

Современные знаки действий и равенства входили во всеобщее употребление медленно и стали общепринятыми лишь в конце XVII в.

Таблицы квадратов и кубов чисел были составлены еще древними вавилонянами. Древнее происхождение имеет и таблица умножения. Ею пользовались вавилоняне, греки, римляне и другие народы. Наиболее ранняя известная таблица умножения от 1 × 1 до 10 × 10 содержится в «Арифметике» греческого математика Никомаха из Геразы (I-II вв.). Передаваясь от народа к народу, из поколения в поколение, таблица умножения дошла и до нас.

Знание таблицы умножения всегда считалось необходимым для каждого ученика.

Буквы и различные математические знаки медленно входили во всеобщее употребление. До XV в. все величины записывались словами. Алгебру того времени поэтому называют риторической, т. е. словесной. Лишь во второй половине XV в. в некоторых странах Европы появились первые буквенные символы.

В конце XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540-1603) ввел буквы для обозначения не только неизвестных, но и любых чисел.

Создание буквенной символики, происходившее во многих странах мира, было завершено в XVII в., и к первой половине XVIII в. установилась общепризнанная система записи буквенных выражений.

Скобки и современный знак равенства встречаются впервые в трудах математиков XVI в. Знаки неравенства «<» и «>» были введены в первой половине XVII в. английским ученым Гарриотом.

Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и ускорило ее развитие.

Еще 4000 лет назад древние вавилоняне и египтяне решали различные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности.

В московском папирусе, датируемом 1850 г. до н. э. (московским он назван, поскольку хранится в Москве), содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название «хау» (в переводе оно означает «количество» и «куча»). Так называемое «исчисление кучи» или «вычисление хау» соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Математика: