Геометрические фигуры

Геометрия и арифметика — важные части математики. В арифметике в основном занимаются вычислениями, т. е. действиями с числами. Да и само название арифметика произошло от греческого слова арифмос, что в переводе означает «число». Название геометрия происходит от двух греческих слов гео - «земля» и метрео - «измеряю». Геометрия — это наука о фигурах, их свойствах и взаимном расположении.

Фигуры вы будете чертить в тетрадях и на классной доске. Поверхности классной доски и страницы тетради являются плоскими поверхностями, или, как говорят в геометрии, - плоскостями. Точнее говоря, они представляют собой только части бесконечных плоскостей.

В геометрии имеют дело с рисунками — чертежами, на которых изображаются геометрические фигуры. С основными геометрическими фигурами вы уже знакомы. Это точка, отрезок, луч, прямая, угол, треугольник, прямоугольник, многоугольник, окружность. Все эти фигуры, кроме точки, изображаются с помощью линий. Слово линия происходит от латинского слова linum, что означает «льняная нить». Латынь — это язык, на котором говорили в Древнем Риме. В Средние века на латыни писалось большинство научных трудов. В наше время латинский алфавит используется в большинстве европейских стран.

Есть бесконечно много линий, которыми можно соединить точки A и B. Рассмотрим три из них. Линия AMNB называется ломаной, она состоит из трех звеньев — отрезков AM, MN, NB.

Линии

Представим себе, что все три линии являются нитями. Тогда ломаную AMNB и кривую AB можно распрямить, потянув, например, за конец B.

При этом мы увидим, что они явно длиннее отрезка AB, т. е. он является самой короткой из всех линий, соединяющих точки A и B. Длину отрезка AB считают расстоянием между точками A и B.

Правило чтения равенств и неравенств с отрезками
Выражение левой части равенства читают в именительном падеже, а выражение правой части читают в дательном падеже.
Например, AB = 7 см — длина отрезка AB равна семи сантиметрам.
Выражение левой части неравенства читают в именительном падеже, выражение правой части читают в родительном падеже.
Например, AB < CD — длина отрезка AB меньше длины отрезка CD.

Сравнить длины отрезков можно и не измеряя их длин. Для этого воспользуемся циркулем. Поставим ножки циркуля на точки C и D. Циркуль как бы запомнил расстояние между этими точками. Теперь поставим одну ножку на точку K. Если без изменения раствора циркуля вторую его ножку можно поставить на точку L, то CD = KL. Если раствор циркуля придется увеличить, то второй отрезок длиннее, а если уменьшить, то второй отрезок короче. В нашем случае раствор циркуля приходится увеличить, значит, отрезок KL длиннее, чем отрезок CD.

Измерение отрезков

Поставим ножку циркуля с иголкой на точку O и ножкой с грифелем проведем линию. Получим окружность.

Окружность

Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от точки O, которую называют центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности, называют радиусом. Отрезок, состоящий из двух радиусов, - это диаметр окружности.

Существует единственный отрезок с концами в точках A и B. Если бесконечно продолжать этот отрезок по линейке за его концы, то получится прямая AB.

Отрезок и прямая

Через две точки A и B проходит единственная прямая AB.

Прямая бесконечна, т. е. неограниченно продолжается в обе стороны, хотя изобразить мы можем только ее часть.

Если на плоскости проведены две прямые, то они либо пересекаются в некоторой точке, либо не имеют ни одной общей точки.

Две прямые, лежащие в плоскости и не имеющие общих точек, называют параллельными.

Термин параллельность, который происходит от греческого слова параллелой - «идущие рядом», стал использовать великий древнегреческий ученый Пифагор примерно 2500 лет назад.

Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками. Каждый раз, глядя на прямоугольник, мы видим две пары параллельных отрезков. На рисунке изображен четырехугольник ABCD, противоположные стороны которого параллельны.

Параллелограмм
Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называют параллелограммом.

Поставим на прямой AB точку C между точками A и B. Точка C разбила прямую AB на два луча CA и CB с общим началом в точке C. Начало луча в его названии всегда указывается на первом месте.

Лучи

Лучи CA и CB с общим началом в точке C образуют угол ACB. Точка C называется вершиной угла (она указывается в середине), а лучи CA и CB — сторонами угла.

Угол

Вместо слова угол в геометрии используют специальное обозначение «∠». Так на рисунке изображен ∠ACB.

Поворачиваясь вокруг точки C, луч CA образует с лучом CB разные углы. С названиями некоторых из них вы уже встречались. На рисунке вы видите тупой, прямой и острый углы. На рисунке угол ACB — развернутый. Он образован лучами CA и CB, дополняющими друг друга до прямой. Такие лучи называются дополнительными.

Виды углов

Прямой угол можно построить с помощью угольника.

Построение прямого угла
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Термин перпендикуляр происходит от латинского слова perpendicularis - «отвесный».

Замкнутые ломаные линии — ломаные, начало и конец которых совпадают.

Каждые два соседних звена ломаной образуют угол, поэтому фигуру, образованную замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются, называют многоугольником. Звенья ломаной называют сторонами многоугольника, а вершины углов — вершинами многоугольника.

Неравенство треугольника
Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Задачи по геометрическим фигурам

  1. Поверхности каких из следующих предметов: пол, потолок, занавеска, лепесток цветка, лист дерева, ручка — можно считать плоскими?
  2. Какие из точек M, N, K, P расположены на отрезке AB длиной 7 см, если AM = 3 см, AN = 4 см, AK = 2 см, AP = 3 см, BM = 5 см, BN = 3 см, BK = 5 см, BP = 6 см?
  3. Начертите отрезок AB длиной 3 см и с помощью циркуля проведите две окружности, центрами которых являются точки A и B, а радиусы равны 2 см.
  4. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Докажите, что диаметр — это самая длинная хорда.
  5. Постройте окружность с центром O и радиусом OR, равным 3 см. Отметьте точку M внутри образовавшего круга, а точку N вне круга. Сравните длины отрезков: OM и OR, ON и OR. Сделайте вывод. Пересечет ли отрезок MN окружность?
  6. Можно ли из прямоугольного листа фанеры длиной 6 дм и шириной 4 дм вырезать круг радиусом: 1) 1 дм; 2) 2 дм; 3) 3 дм?
  7. Проведите луч AB и отметьте на нем точки C и D. Сколько образовалось лучей; отрезков? Запишите их названия.
  8. На прямой отложите отрезки AB = 5 см и BC = 7 см. Найдите длину отрезка AC. От чего будет зависеть ответ?
  9. Постройте на нелинованном листе бумаги с помощью угольника какой-нибудь прямоугольник.
  10. Постройте прямой угол AOB. Проведите луч OC так, чтобы угол BOC был острым, а угол AOC оказался тупым.
  11. Проведите через одну точку три прямые. Сколько при этом образовалось углов?
  12. Отрезок AB разделен некоторой точкой на два отрезка. Расстояние между серединами этих отрезков равно 5 дм. Какой длины отрезок AB?
  13. Постройте произвольный треугольник. Измерьте длины его сторон. Сравните длину каждой из его сторон с суммой длин двух других. Сделайте вывод.
  14. Найдите периметр (сумму длин сторон) прямоугольника, если известно, что его длина равна 118 см, а ширина в 2 раза меньше.
  15. Найдите длину стороны квадрата с периметром, равным 92 см.
  16. Начертите окружность с центром в точке O и радиусом OR, равным 3 см. Проведите хорды RA и RB, равные радиусу. Каким треугольником является треугольник ABR?
  17. Постройте четырехугольник, в котором есть прямой, тупой и острый углы.
Математика: