Дробь как результат деления натуральных чисел

Деление яблока на три части приводит к дроби 1/3. Если делить десять яблок, можно разделить на 3 каждое яблоко — получится 30 частей по 1/3 яблока, и каждому из троих любителей яблок достанется по 10 таких частей, т. е. по 10/3 яблока. Деление десяти яблок на три равные части привело нас к дроби 10/3.

Математика имеет дело не с конкретными предметами (яблоками, апельсинами, конфетами и т. п.), а с числами. Математики говорят, что при делении числа десять на число три получается дробь — десять третьих, и пишут 10 : 3 = 10/3.

При делении натурального числа a на натуральное число b получается дробь a/b.

a : b = a/b.

Черта дроби означает то же самое, что и знак деления «:», и используется в математике даже чаще него.

Чтобы разделить десять яблок на троих поровну, совсем не обязательно разрезать каждое яблоко. Разумнее было бы раздать по три целых яблока, а затем десятое яблоко разрезать на три равные части. Тогда каждому досталось бы пол три целых яблока и еще по 1/3 яблока, т. е. 10/3 = 3 + 1/3.

Выражение 3 + 1/3 является суммой натурального числа и правильной дроби. Обычно такие суммы называют смешанными числами и записывают сокращенно, пропуская знак «+» между целой и дробной частями:

3 + 1/3 = 31/3 (читается: «три целых одна третья»).

В начале пункта при делении 10 на 3 получилась дробь 10/3. Теперь этот же результат мы записали в виде смешанного числа 31/3, т. е. 10/3 = 31/3.

С делением 10 на 3 вы встречались еще задолго до знакомства с дробями. Это действие называлось делением с остатком. При делении 10 на 3 получается неполное частное, равное 3, и остаток, равный 1, что записывается следующим образом:

10 : 3 = 3 (ост. 1).

Правила перехода от неправильной дроби к смешанному числу и обратно

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, нужно разделить с остатком числитель дроби на ее знаменатель: неполное частное дает целую часть смешанного числа, а остаток — числитель его дробной части.

Например, 31 : 7 = 4 (ост. 3), значит, 31/7=4(3/7).

Чтобы записать смешанное число в виде дроби, знаменатель дробной части смешанного числа умножают на целую часть, прибавляют числитель дробной части и записывают результат в числитель.

Например, 4(3/7)=(7*4+3)/7 = 31/7.