Равенство фигур

Геометрические фигуры могут иметь разную форму, как, например, треугольник и окружность, или остроугольный и тупоугольный треугольники. Если же фигуры имеют одну и ту же форму, они могут отличаться друг от друга своими размерами.

Разные геометрические фигуры
Когда и форма, и размеры фигур совпадают, говорят, что фигуры равны.

На рисунке выше равны два круга (под буквами «б» и «г»).

Даже если фигуры имеют одинаковую форму, нельзя полагаться только на зрение, чтобы сказать, что эти фигуры равны. Посмотрите на центральные круги на рисунке ниже. Трудно поверить, но эти круги равны.

Оптический обман на равенство фигур

Ответить на вопрос о равенстве отрезков можно, измерив их длины или применив циркуль. Сложнее обстоит дело с произвольными фигурами. Например:

Сравнение произвольных фигур

Похоже, что нижняя фигура больше. Проверим это с помощью прозрачной бумаги — кальки или полиэтиленовой пленки. Скопируем на кальку одну из фигур и постараемся наложить копию на вторую фигуру так, чтобы они совпали. Если нам это удастся, то фигуры равны. При наложении кальку можно переворачивать.

Фигуры, которые можно наложить одну на другую так, чтобы они полностью совпали, называют равными.

Задачи на равенство фигур

1. Найдите на рисунке равные фигуры. Ответ обоснуйте.

Поиск равных фигур

2. Можно ли сравнить по длине: два отрезка; два луча; две прямые; две ломаные; отрезок и луч; отрезок и ломаную; окружность и отрезок; кривую и ломаную?

3. Равны ли черный и белый квадрат на рисунке?

Равенство квадратов

4. Отрезки AC и BD, соединяющие противоположные вершины прямоугольника, называют диагоналями прямоугольника. Возьмите лист бумаги прямоугольной формы, проведите диагональ и разрежьте прямоугольник по диагонали. Наложите получившиеся у вас прямоугольные треугольники друг на друга и проверьте, равны ли они.

Равенство прямоугольных треугольников, составляющих прямоугольник

5. Вырежьте из бумаги прямоугольник, проведите его диагонали и разрежьте прямоугольник по его диагоналям на четыре треугольника. Есть ли среди получившихся треугольников равные?

6. С помощью циркуля начертите окружность. По линейке проведите диаметр. Вырежьте круг и разрежьте его по диаметру. Равны ли получившиеся у вас фигуры?

7. С помощью циркуля начертите окружность. По линейке проведите два каких-нибудь диаметра. Вырежьте круг и разрежьте его по диаметрам. Если ль среди получившихся у вас четырех секторов равные?

8. Закончите предложения. 1) Отрезки равны, если равны их … . 2) Окружности равны, если равны их … . 3) Квадраты равны, если равны их … . 4) Фигуры равны, если … .

9. Начертите прямоугольник ABCD. Запишите равные элементы у прямоугольника.

10. Постройте прямоугольник, у которого длина равна 6 см, а ширина в 3 раза меньше. Постройте квадрат, периметр которого равен периметру прямоугольника.

11. С помощью перегибания получите из прямоугольного листа бумаги квадрат. С помощью перегибания квадрата найдите точку пересечения его диагоналей. а) Сравните диагонали квадрата. б) Чему равен угол между диагоналями квадрата? в) На какие фигуры делит диагональ квадрат?

12. С помощью перегибания листа бумаги, на котором изображена окружность, найдите центр окружности.

13. Укажите «лишнюю» фигуру на рисунке.

Найти неравную фигуру

14. Как выяснить, равны ли отрезки, окружности, квадраты, произвольные фигуры?