Десятичная система счисления

Жизнь в современном мире невозможно без чисел. Номера домов и страницы книг, даты, время и температура, зарплаты и цены... с числами мы встречаемся везде.

Люди научились использовать числа еще в глубокой древности.

Натуральными числами называются числа, которые используются при счете предметов (числа 1, 2, 3, …). Слово «натуральный» происходит от латинского слова «natura», что в переводе означает «природа». Натуральные числа можно назвать естественными числами.

Математика как наука изучает числа, арифметические действия, геометрические фигуры и их свойства.

1 — это наименьшее натуральное число. Именно с него начинается счет. Каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего. При счете меньшее число называется раньше, а большее позже.

Число нуль не относится к натуральным числам.

Верны следующие утверждения:

  • Любое натуральное число имеет следующее за ним.
  • Число 1 — наименьшее натуральное число.
  • Наибольшего натурального числа не существует.
  • Любое натуральное число больше нуля.
  • Десять единиц одного разряда образуют единицу следующего разряда.

Неверны следующие утверждения:

  • Каждое натуральное число имеет предыдущее число, которое также является натуральным. (Это не так, так как у числа 1 нет предыдущего натурального числа.)
  • Цифра 4 в записи числа 34 607 означает число сотен. (Нет, оно обозначает число тысяч.)
  • Для записи числа 406 405 использовано 6 разных цифр. (Нет. Количество цифр действительно шесть, но цифры 4 и 0 использованы по два раза. Следовательно, использовано всего четыре разные цифры: 4, 0, 6, 5.

У некоторых первобытных племен для счета было всего четыре слова: один, два, три и много. Развитие цивилизации потребовало несравнимо больше чисел, и люди изобрели различные системы счисления.

Одной из широко используемых является арабская система счисления (нумерация). С ней вы познакомились в начальной школе. Для записи любого числа в этой системе используются цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Всего цифр десять, поэтому арабскую систему называют десятичной.

Значение цифры в записи числа меняется в зависимости от места (позиции), которое она занимает. Например, цифра 5 в числе 254 обозначает число десятков, а в числе 513 — число сотен. Поэтому арабская система счисления, которой мы пользуемся, называется позиционной.

Чтобы правильно читать и записывать числа, нужно знать таблицу разрядов и классов.

Таблица разрядов и классов

Правило чтения чисел
Пусть нужно прочитать число 20100038050798.

  1. Разбиваем число на классы, отделяя по три цифры справа налево: 20 100 038 050 798.
  2. Читаем число слева направо: называем число, представленное первой группой цифр, и название класса, затем называем число, представленное второй группой цифр, и название класса и т. д.
  3. Если все три разряда класса заполнены нулями, то при чтении числа этот класс пропускают.

Число 20 100 038 050 798 читается так: двадцать триллионов сто миллиардов тридцать восемь миллионов пятьдесят тысяч семьсот девяносто восемь.

В таблице не поместились более мощные классы. Так, слева от класса триллионов должен быть класс квадриллионов, еще левее классы квинтиллионов, секстиллионов и т. д. Отметим также, что необходимость в использовании названий этих классов в практической деятельности человека возникает довольно редко.

Правило записи чисел

Пятьсот, шестьсот, семьсот, восемьсот, девятьсот пишутся с мягким знаком.

Миллион, миллиард, триллион и др. пишутся с двумя буквами «л». Используются сокращения: единица — ед., сотня — сот., десяток — дес., тысяча — тыс., миллион — млн, миллиард млрд, триллион — трлн.

1 млн = 1 000 000, 1 млрд = 1 000 000 000 000,
1 трлн = 1 000 000 000 000.

Сумма разрядных слагаемых

Числа в десятичной системе могут быть представлены в виде суммы значений цифр, которыми они записана.

Так, например, 70 893 = 70 000 + 800 + 90 + 3.

Слагаемые первой части равенства называют разрядными.

Задачи

  1. Запишите число, которое: 1) следует за числом 1999; 2) предшествует числу 10000; 3) на 10 меньше, чем наименьшее двузначное число; 4) в 3 раза меньше наибольшего двузначного числа; 5) на 90 больше наименьшего трехзначного числа; 6) в 2 раза больше числа 500.
  2. Ответьте на вопросы: 1) Сколько существует однозначных чисел? 2) Сколько существует двузначных чисел? 3) Сколько раз встречается цифра 7 в записи натуральных чисел от 1 до 100? 4) Сколько различных четырехзначных чисел можно составлять, используя только цифры 8 и 0 или одну из них? Прочитайте полученные числа.
  3. Прочитайте числа, записанные в таблице разрядов и классов. 1) Назовите цифру, которая стоит в разряде: единиц, единиц тысяч, единиц миллионов. 2) Назовите старший разряд чисел. 3) Назовите разряд, в котором стоит цифра 8.
  4. Запишите цифрами: 1) наименьшее пятизначное число; 2) наибольшее шестизначное число; 3) какое-нибудь число, которое больше миллиона; 4) число, которое на 2 меньше триллиона.
  5. Запишите семизначное число. Прочитайте записанное число. Назовите старший разряд в этом числе. Сколько классов в данном числе?
  6. Запишите восьмизначное число, в котором 5 млн и 5 ед. Прочитайте полученное число. Назовите старший разряд в этом числе. Сколько цифр в записи данного числа?
  7. Найдите двузначное число, произведение цифр которого равно наибольшему однозначному числу, а цифра десятков меньше цифры единиц.
  8. Мальчик ждет зеленого сигнала светофора и вслух считает проезжающие машины. Сколько машин проехало мимо мальчика после того, как он назвал число 17, если при счете 35 зажегся зеленый свет? Каким действием вы нашли ответ на вопрос задачи?
  9. Сколько различных чисел можно записать цифрами 1, 3, 8 и 0, если цифры в записи числа не повторяются?
  10. Из трехзначного числа, записанного цифрами 5, 6 и 7, вычитается число 23. Какое наименьшее число можно записать, используя все цифры результата?
  11. Записаны подряд натуральные числа от 1 до 999. Сколько раз в записи всех чисел встречается цифра 9?
  12. Прочитайте число 9876543210. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых. Сколько классов в записи данного числа? Какая цифра стоит в разряде десятков миллионов?
  13. Запишите с помощью цифр число двадцать пять миллиардов сто миллионов двадцать восемь.
  14. Запишите прописью число 1500060300.