Объем прямоугольного параллелепипеда

На рисунке вы видите круг, четырехугольник, в котором проведены его диагонали, и шестиугольник.

Фигуры на плоскости

А на рисунке ниже эти фигуры раскрасили, и они, как говорят художники, приобрели объем, т. е. как бы вышли из плоскости в пространство.

Объемные фигуры

Каждая из фигур представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью. Такие пространственные фигуры называют геометрическими телами.

Тело на первом рисунке а) — хорошо знакомый вам шар. Полезно знать, что поверхность шара имеет специальное название — сфера.

Поверхность треугольной пирамиды (б) образована четырьмя треугольниками, которые называют гранями пирамиды. Сторона AC граней ABC и ACD на самом деле не видна. Ее закрывают грани ABD и CBD пирамиды. Такие линии называют невидимыми и изображают штрихами.

Если не использовать штриховых линий, изображения могут получиться неоднозначными. Так, например, попробуйте по рисунку 86 понять, как расположен полупрозрачный куб или сколько кубиков, шесть или семь, на рисунке 87.

Изображение объемных фигур

Треугольная пирамида — простейший многогранник, т. е. геометрическое тело, поверхность которого образована многоугольниками. Стороны этих многоугольников являются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

Все шесть граней многогранника на рисунках 86 и 88 — прямоугольники. Такие многогранники имеют свое название — прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются квадратами, называют кубом.

Если поверхность прямоугольного параллелепипеда разрезать по некоторым ребрам, то ее можно будет развернуть и уложить на плоскость.

Фигура, которая при этом получится, называется разверткой.

Пирамида — это многогранник, основанием которого служит многоугольник, а все боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину.

На рисунке изображена шестиугольная пирамида.

Пирамида

Важной сравнительной характеристикой геометрических тел является объем. За единицу объемов принимают объем единичного куба — куба с ребром, равным единице. Так, объем куба с ребром в 1 см — это 1 кубический сантиметр.

Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда

Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда на рисунке 98 равны соответственно 4, 3 и 5 см. Чтобы подсчитать, из скольких единичных кубов он составлен, разделим его на пять слоев толщиной 1 см каждый. В каждом из них 4 * 3 = 12 единичных кубов, значит, всего в этом прямоугольном параллелепипеде 12 * 5 = 60 единичных кубов, т. е. его объем равен 60 кубическим сантиметрам. При нахождении объема прямоугольного параллелепипеда мы перемножили его длину, ширину и высоту, которые называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.

Объем куба с ребром 2 см равен 2 * 2 * 2 = 23 кубических сантиметров. Поэтому вместо слов «два в третьей степени» обычно говорят «два в кубе» или «куб числа два». Используют обозначение степени и для сокращенного указания единиц объема, так, например, вместо слов кубический сантиметр пишут см3. Объем куба с ребром 2 см равен 8 см3.

При вычислении объема прямоугольного параллелепипеда его измерения должны быть выражены в одинаковых единицах длины. Так, если измерения равны 2 дм, 15 см и 45 мм, то сначала следует перевести дециметры и сантиметры в миллиметры: 2 дм = 200 мм, 15 см = 150 мм, а затем уже найти их произведение 200 * 150 * 45 = 1 350 000 мм3.

Полученный ответ можно несколько упростить, если заметить, что 1 см3 = 10 мм * 10 мм * 10 мм = 1000 мм3. Тогда 1 350 000 = 1350 см3.

Задачи на объем прямоугольного параллелепипеда

  1. Сколько вершин, ребер и граней у прямоугольного параллелепипеда?
  2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его ребра равны: 1) 3 см, 4 см, 5 см; 2) 12 дм, 5 дм, 2 дм; 3) 6 м, 7 м, 3 м; 4) 25 мм, 4 мм, 17 мм.
  3. Найдите объем куба, если его ребро равно: 1) 2 мм; 2) 3 см; 3) 4 дм; 4) 5 м.
  4. Укажите измерения нескольких прямоугольных параллелепипедов с атким же объемом, как у куба с ребром 6 см.
  5. Объем комнаты равен 80 м3. Найдите высоту комнаты, если известно, что площадь пола равна 2500 дм2.
  6. Найдите объем куба, если площадь его поверхности равна 24 м2.