Измерение углов

Нам часто придется иметь дело сразу с несколькими углами. Если один из углов можно наложить на другой так, чтобы они совпали, - углы равны. На рисунке изображены два угла 1 и 2. При наложении угол 1 совпадает с углом 2, следовательно, эти углы равны: ∠1 = ∠2.

Равные углы

На рисунке ниже при наложении угла 2 на угол 1 одна сторона совпала, а другая сторона угла 2 оказалась между сторонами угла 1. Это значит, что угол 2 меньше угла 1: ∠2

Один угол меньше другого

Сравнивать углы с помощью кальки неудобно. Некоторые углы можно сравнить на глаз — тупой, прямой, острый, развернутый.

Виды углов

Другой способ сравнения углов связан с измерением величин этих углов. Измеряются углы с помощью специального прибора — транспортира.

Транспортир

На транспортире имеется шкала, представляющая собой полуокружность, разделенную на 180 равных частей — градусов. Для обозначения градусов применяют специальный значок «°».

Измерение угла транспортиром
Чтобы измерить величину угла AOB, приложим транспортир к углу так, чтобы:

  1. специальная центральная отметка транспортира совпала с вершиной O угла;
  2. одна из сторон угла прошла через отметку 0 (нуль градусов) на шкале транспортира;
  3. вторая сторона угла пересекла шкалу транспортира;
  4. там, где вторая сторона пересекла шкалу, читаем величину угла.

Запись ∠AOB = 110° читается: «угол AOB равен ста десяти градусам».

На большинстве транспортиров для удобства их использования нанесены две шкалы.

Транспортир с двумя шкалами

В зависимости от того, как приложен транспортир, следует использовать либо одну из них, либо другую. Чтобы не ошибиться в выборе шкалы, величину угла предварительно оценивают на глаз, а затем свою оценку уточняют с помощью транспортира.

Достаточно, конечно, определить на глаз, каким углом, тупым или острым, является измеряемый угол. Тем не менее полезно попрактиковаться в оценке так, чтобы ошибаться не более чем на 10°.
С помощью транспортира можно не только измерять, но и строить углы.

Правило построения угла с помощью транспортира
Построим, например, угол, равный 50°.

  1. Проведем луч KC.
  2. Приложим транспортир так, чтобы его центральная отметка совпала с точкой K, а сам луч KC прошел через 0 на шкале транспортира.
  3. Отметим точку D там, где на соответствующей шкале транспортира указано число 50.
  4. С помощью линейки проведем луч KD.

Мы получили угол CKD, равный 50°.

 Построение угла с помощью транспортира

Прямой угол равен 90°, развернутый угол равен 180°. Острый угол больше 0°, но меньше 90°, тупой угол больше 90°, но меньше 180°.

Если провести луч из вершины угла так, чтобы он прошел между его сторонами, то углы, на которые этот луч разделит угол, в сумме дадут величину самого угла.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC

Луч, проходящий внутри угла

Из этого равенства легко выразить, например, угол BOC:

∠BOC = ∠AOC - ∠AOB.

Говорят, что угол AOC равен сумме углов AOB и BOC, а угол BOC равен разности углов AOC и AOB.

Правило записи и чтения равенств и неравенств с величинами углов
Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном. Например, ∠ABC = 10° — угол ABC равен десяти градусам; ∠AOB + ∠BOC = 25° — сумма углов AOB и BOC равна двадцати пяти градусам.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном. Например,
∠AOB > ∠BOC — угол AOB больше угла BOC;
∠C > 80° — угол C больше восьмидесяти градусов.

Луч, проведенный из вершины развернутого угла, делит его на два угла, которые имеют одну общую сторону, а другие их стороны дополняют друг друга до прямой.

Смежные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две друге являются дополнительными лучами, называют смежными.

Равные углы на рисунках обычно отмечают одинаковым количеством дужек, соединяющих их стороны. Рядом с дужками указывают величину угла. А для прямого угла используют специальное обозначение по форме напоминающее две стороны квадрата (прямой угол).

Обозначение прямого угла

Луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам, называется биссектрисой угла.

Биссектриса угла

Термин биссектриса происходит от латинских слов bis - «надвое» и sectrix - «секущая».

Углы AOD и BOC имеют общую вершину, а их стороны дополняют друг друга до прямой.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются дополнительными лучами, называют вертикальными.

Название вертикальные происходит от латинского слова verticalis - «вершинные».

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.

Вертикальные углы равны.

В геометрии часто встречаются прямые, при пересечении которых все четыре образовавшихся угла оказываются прямыми.

Такие прямые называются взаимно перпендикулярными.

Для построения прямых углов обычно используют чертежные угольники. Есть два вида чертежных угольников. Каждый из них имеет форму прямоугольного треугольника.

Чертежные угольники

Стороны, заключающие прямой угол в треугольнике, называют катетами, а сторону, лежащую напротив прямого угла, называют гипотенузой.

Катеты одного из чертежных треугольников равны между собой. В зависимости от наличия или отсутствия у треугольника равных сторон треугольники бывают равнобедренные, равносторонние и разносторонние.

Треугольник, имеющий две равные стороны, называют равнобедренным.
Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
Треугольник, у которого нет равных сторон, называют разносторонним.

Задачи на измерение углов

  1. Найдите величины углов, изображенных на рисунке.
    Измерение углов
  2. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах, когда они показывают: 1 ч; 2 ч; 3 ч; 6 ч; 9 ч 30 мин?
  3. Постройте с помощью транспортира углы: 30°; 40°; 60°; 90°; 135°; 170°.
  4. Постройте четырехугольник ABCD, у которого: 1) два угла острых, а два — тупых; 2) один угол прямой, один тупой и два острых; 3) два прямых угла, один острый и один тупой.
  5. Постройте развернутый угол AOC. Из вершины O проведите луч OB. Сколько получилось углов?
  6. Найдите второй смежный угол, если первый равен: 1) 90°; 2) 120°; 3) 37°; 4) 145°.
  7. Найдите смежные углы, если известно, что: 1) первый угол в 2 раза больше второго; 2) второй угол на 30° больше первого.
  8. Прямые углы можно определить на глаз. Не пользуясь транспортиром, найдите величины углов на рисунке, обозначенные знаком «?».
    Найти величины углов
  9. С помощью транспортира постройте биссектрисы: 1) развернутого угла; 2) прямого угла; 3) угла, равного 64°; 4) угла, равного 120°.
  10. Начертите смежные углы и проведите их биссектрисы. Какой угол образуют эти биссектрисы?
  11. На рисунке величины некоторых углов известны. Найдите величину угла BAC.
    Найти величину угла
Математика: