Вектор

Некоторые физические величины, например сила и скорость, задаются не только своим числовым значением (при выбранной единице измерения), но и направлением в пространстве. Такие физические величины называют векторными величинами или коротко — векторами.

В геометрии векторы определяются следующим образом. Рассмотрим отрезок AB. На нем можно указать два направления: от A к B и от B к A (рис. 40). Чтобы выбрать одно из них, поступим так: одну из точек, A или B, назовем началом, другую — концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой на конце. Вектор с началом A и концом B обозначают так: (рис. 41).

Начало и конец вектора

Ясно, что с каждым отрезком AB, концы которого не совпадают, связаны два вектора: (A — начало, B — конец) и (B — начало, A — конец). Говорят, что вектор является противоположным вектору , и пишут = –. Если же концы отрезка совпадают, т. е. отрезок состоит из одной точки, то соответствующий этому отрезку вектор называется нулевым. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается сам этот вектор.

На рисунке 42,а изображены ненулевые векторы , , (точки A, C, E — их начала, точки B, D, F — их концы) и нулевой вектор . Иногда векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой над ней: , , (рис. 42,б), а нулевой вектор — символом .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB; длина нулевого вектора считается равной нулю. Длина вектора обозначается так: ||.

На рисунке 42 || = 6, || = 5, || = 2,5, || = 0, || = 2√5, || = 7, || = 3 (каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков).

В курсе физики векторы называются равными, если их длины равны и они одинаково направлены. Это определение, при всей своей наглядности, обладает тем недостатком, что им трудно пользоваться при доказательстве утверждений о равных векторах. Поэтому мы будем исходить из другого определения, приводящего, впрочем, к тем же выводам.

Определение. Векторы и называются равными, если середины отрезков AD и BC совпадают.

Обсудим это определение.

Если векторы и нулевые, то точка A совпадает с точкой B, а точка C — с точкой D, поэтому отрезки AD и BC совпадают, а значит, совпадают их середины. Следовательно,

  • все нулевые векторы равны друг другу.

Пусть теперь вектор ненулевой и = . Обозначим общую середину отрезков AD и BC буквой O. Возможны два случая.

1) Точка O не лежит на прямой AB. В данном случае пересекающиеся в точке O отрезки AD и BC являются диагоналями четырехугольника ABDC (рис. 43,а). Так как точкой пересечения они делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, AB || CD, AB = CD и векторы и одинаково направлены — их концы B и D лежат по одну сторону от прямой AC, проходящей через начала этих векторов.

Равные векторы

2) Точка O лежит на прямой AB. В этом случае точки C и D также лежат на прямой AB. Введем ось координат Ox так, чтобы точки A, B, C и D лежали на этой оси. Пусть координата точки A на оси Ox равна a, а координата точки B равна b (рис. 43,б). Так как точка O(0) — середина отрезков AD и BC, то координата точки D равна –a, а координата точки C равна –b (п. 84). Мы видим, что векторы и лежат на оси Ox, причем разность b – a координат конца и начала вектора равна разности координат конца и начала вектора . Из этого следует, что AB = CD и векторы и одинаково направлены (на рисунке 43,б их направление совпадает с направлением положительной полуоси оси Ox).

Таким образом,

  • равные ненулевые векторы лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой, их длины равны, и они одинаково направлены.

Математика: