Сумма векторов

Пусть и — данные векторы (рис. 56, а). Отложим от точки B вектор , равный вектору (рис. 56, б). Вектор , и также любой равный ему вектор, называется суммой векторов и .


Этот способ построения суммы векторов называют правилом треугольника. Сумма векторов и обозначается так: + .
Из определения суммы векторов следует, что

  • для любого вектора справедливо равенство + = ;
  • если A, B и C — произвольные точки, то + = .

Подчеркнем, что последнее равенство справедливо для любых точек A, B и C, в частности, в том случае, когда две из них или все три совпадают. Например, + = = , т. е. + (–) = . Таким образом,

  • для любого вектора справедливо равенство + (–) = .

Докажем теорему о координатах суммы двух векторов.

Теорема. Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство. Рассмотрим произвольные векторы {x1; y1} и {x2; y2} и докажем, что вектор + имеет координаты {x1 + x2; y1 + y2}.

Пусть (x0; y0) — координаты точки A. Поскольку координаты вектора равны {x1; y1}, то координаты точки B равны (x0 + x1; y0 + y1). Отложим от точки B вектор , равный вектору (рис. 57). Так как координаты вектора равны (x2; y2), то координаты точки E равны

((x0 + x1) + x2; (y0 + y1) + y2).


Поэтому координаты вектора равны

{(x0 + x1 + x2) – x0; (y0 + y1 + y2) – y0} = {x1 + x2; y1 + y2}.

По определению суммы векторов = + . Таким образом, вектор + имеет координаты {x1 + x2; y1 + y2}. Теорема доказана.

В самом деле, согласно доказанной теореме координаты векторов и равны, поэтому равны и сами эти векторы.

Разностью векторов и называется такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору :

+ = .

Разностью векторов и называется такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору :

+ = .

Разность векторов и обозначается так: (рис. 59). Из доказанной теоремы следует, что

  • каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Иными словами, если векторы и имеют координаты {x1; y1} и {x2; y2}, то вектор имеет координаты {x1 – x2; y1 – y2}.

Математика: