Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между векторами; скалярное произведение двух векторов, хотя бы один из которых нулевой, считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается так: * или . Таким образом, для ненулевых векторов и


и для любого вектора справедливы равенства * = 0 и * = 0.

Из этих формул, в частности, следует, что * = ||2. Скалярное произведение * называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом 2. Таким образом,

  • скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: 2 = ||2.

Скалярное произведение векторов и можно вычислить, зная координаты {x1; y1} и {x2; y2} этих векторов. В самом деле, если данные векторы не нулевые, то, используя формулу (5) п. 89, получаем:


Эта формула, очевидно, верна и в том случае, когда один из векторов и нулевой. Итак,

  • скалярное произведение векторов {x1; y1} и {x2; y2} выражается формулой

* = x1x2 + y1y2.     (2)

Сопоставляя это равенство с условием перпендикулярности ненулевых векторов (формула (7), п. 89), приходим к выводу

  • скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы (1) следует, что

  • скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда < 90º ( > 90º).


На рисунке 64

Докажем, что скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.
Доказательство. Справедливость утверждения 1 следует из формулы 2 = ||2, а утверждение 2 — из определения скалярного произведения.

Докажем утверждения 2 и 4. Для этого введем прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов , и так: {x1; y1}, {x2; y2}, {x3; y3}. Используя формулу (2), выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, получаем:


Утверждение 3 доказано.

Вектор k имеет координаты {kx1; ky1}, поэтому

Утверждение 4 доказано.

Отметим, что утверждение 3 обобщается на любое число слагаемых. Например,

Математика: