Произведение вектора на число

Возьмем ненулевой вектор и число k ≠ 0. Построим такой вектор , что его длина равна |k|MA, и точка B при k > 0 лежит на луче MA, а при k < 0 лежит на продолжении луча MA. Вектор , и также любой равный ему вектор, называется произведением вектора на число k. Произведением нулевого вектора на любое число и любого вектора на число 0 считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число k обозначается так: k. На рисунке 63 изображены вектор и вектор 3 и –1,5.

Теорема. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство. Пусть {x; y} — произвольный вектор, k — произвольное число. Требуется доказать, что координаты вектора k равны {kx; ky}. С этой целью рассмотрим вектор {kx; ky} и докажем, что k = .

Если = или k = 0, то k = (согласно определению произведения вектора на число) и = (поскольку kx = ky = 0), поэтому

k = .

Пусть и k ≠ 0. Поскольку

MB2 = (kx)2 + (ky)2 = k2(x2 + y2) = k2MA2,

то

MB = |k| * MA.

Далее, по формуле (5) п. 89 находим косинус угла α между векторами и :

Следовательно, cos α = 1 при k > 0 и cos α = –1 при k < 0. В первом случае α = 0°, т. е. точка B лежит на луче MA; во втором случае α = 180º, т. е. точка B лежит на продолжении луча MA.

Таким образом, = k, поэтому координаты вектора k равны {kx; ky}. Теорема доказана.

Докажем, например, утверждение 1 (остальные утверждения доказываются аналогично).

Если вектор имеет координаты {x; y}, то вектор (kl) имеет координаты {klx; kly}. Такие же координаты имеет вектор k(l). Следовательно, (kl) = k(l). Утверждение доказано.

Свойств сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовать векторные выражения по тем же правилам, что и числовые выражения. Например, выражение

Математика: