Длина вектора и расстояние между двумя точками

Теорема. Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат.

Доказательство. Пусть {x; y} — данный вектор. Докажем, что

Отложим от начала координат вектор = (рис. 46). Поскольку координаты точки O равны (0; 0), то координаты точки A равны (x; y).

Если точка A не лежит ни на одной из осей координат, то отрезок OA является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами |x| и |y|, поэтому

Эта формула верна и в том случае, когда точка A лежит на оси координат (объясните почему). Теорема доказана.

Следствие. Расстояние между точками A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) выражается формулой

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что расстояние между точками A и B равно длине вектора {x₂ – x₁; y₂ – y₁}, и воспользоваться формулой (3).