Угол между векторами

Пусть и — два ненулевых вектора. Отложим от произвольной точки M векторы = и = . Если лучи MA и MB не совпадают, то они образуют угол AMB (рис. 47). Градусную меру этого угла обозначим буквой α и будем говорить, что угол между векторами и равен α. Если же лучи MA и MB совпадают, то будем считать, что угол между векторами и равен 0º.

Угол между двумя векторами
Теорема. Косинус угла α между ненулевыми векторами {x1; y1} и {x2; y2} выражается формулой
Доказательство. Отложим от произвольной точки M (x0; y0) векторы = и = . Концы этих векторов имеют следующие координаты:

A (x0 + x1; y0 + y1) и B (x0 + x2; y0 + y2).

Если точки M, A и B не лежат на одной прямой (рис. 48), то по теореме косинусов

AB2 = MA2 + MB2 – 2MA * MB * cos α.


Это равенство верно и в том случае, когда точки M, A и B лежат на одной прямой (рис. 49). Из него следует, что

cos α = (MA2 + MB2 – AB2) / (2MA * MB).     (6)

Зная координаты концов отрезков AB, MA и MB, по формуле (4) п. 88 получаем (проделайте вычисления самостоятельно):

Подставляя эти выражения в равенство (6), приходим к формуле (5). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что величина угла α не зависит от выбора точки M, от которой откладываются векторы и . Иными словами, если = и = , то ∠AMB = ∠KNL.

Ненулевые векторы и называются перпендикулярными (), если угол между ними равен 90º. Угол между векторами и часто обозначают так: .

Если {x1; y1} ⊥ {x2; y2}, то cos () = 0, поэтому числитель в формуле (5) равен нулю: x1x2 + y1y2 = 0.

Обратно, если x1x2 + y1y2 = 0 и векторы и ненулевые, то cos () = 0 согласно формуле (5), и, следовательно, = 90º, т. е. . Таким образом, мы доказали, что

  • ненулевые векторы {x1; y1} и {x2; y2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда

x1x2 + y1y2 = 0. (7)

Отсюда, в частности, следует, что если {x; y} ≠ , то вектор {y; –x} перпендикулярен к вектору , причем || = || (докажите справедливость этого равенства).