Дополнительные задачи "Векторы и координаты"

§ 19
31. Четырехугольники ABCD и A1BC1D — параллелограммы. Докажите, что .

32. Треугольники ABC и AB1C1 имеют общую медиану AM. Докажите, что .

33. Напишите уравнение окружности с центом на оси ординат, проходящей через точки A (3; 8) и B (–4; 1).

34. Является ли отрезок с концами A (–3; 4) и B (–7; –4) диаметром окружности (x + 5)2 + y2 = 20?

35. Напишите уравнение окружности, вписанной в треугольник с вершинами A (–3; –1), B (1; 2), C (5; –1).

36. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин описанного около нее квадрата есть величин постоянная.

37. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин вписанного в нее квадрата есть величина постоянная.

38. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M плоскости, для каждой из которых AM2 + BM2 = k2, где k — данное число.

39. Три вершины параллелограмма ABCD имеют координаты: A (2; –3), B (2; 1), C (–2; 3). Напишите уравнение прямой BD.

40. Прямая y + 2x – 1 = 0 пересекает ось Oy в точке A. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно к данной прямой.

41. Медианы треугольника с вершинами A (5; 1), B (–7; 4) и C пересекаются в точке G (–2; 3). Напишите уравнение прямой CG и найдите координаты точки C.

42. Выясните взаимное расположение прямой x + y – 3 = 0 и окружности x2 + y2 = 4.

43. Центр окружности расположен в начале координат, ее хорда, лежащая на прямой 4y + 3x – 12 = 0, равна 2. Напишите уравнение этой окружности.

§ 20

44. Может ли длина суммы: а) нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов; б) двух ненулевых векторов быть равной длине разности этих векторов?

45. Докажите, что векторы {x1; y1} и {x2; y2} коллинеарны тогда и только тогда, когда x1y2 = x2y1.

46. Векторы + и коллинеарны. Докажите, что векторы и коллинеарны.

47. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что .

48. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке P. Докажите, что для любой точки M имеет место равенство .

49. Докажите, что для любого вектора справедливо равенство: .

50. Докажите, что если , то точки A и B симметричны относительно точки O.

51. Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB || DE || CF, BC || EF || AD, CD || FA. Используя векторы, докажите, что BE || AF.

52. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB1A2, BCC1B2, ACC2A1. Используя векторы, докажите, что либо существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам A1A2, B1B2, C1C2, либо один из этих отрезков равен сумме двух других.

53. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

54. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

55. Отрезки AB и CD – хорды окружности с центром O. Прямые AB и CD взаимно перпендикулярны, M — точка их пересечения. Докажите, что .

56. В трапеции ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3 угол A прямой. Найдите .

57. Разность оснований AD и BC равнобедренной трапеции ABCD равна m. Найдите .

58. Докажите, что если .

59. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что меньшая боковая сторона есть среднее геометрическое оснований.

60. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D, прямая CD перпендикулярна к медиане AM, AD : DB = 3 : 1, AC = 3, угол C = 60º. Найдите BC.

61. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

62. Отрезок AM — медиана треугольника ABC. Докажите справедливость равенства 4AM2 = 2AB2 + 2AC2 – BC2.

§ 21

63*. Используя параллельный перенос, докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

64*. На стороне AB прямоугольника ABCD построен треугольник ABE. Через точки C и D проведены прямые, перпендикулярные соответственно к прямым EA и EB и пересекающиеся в точке F. Используя параллельный перенос, докажите, что EF перпендикулярна AB.

65*. Даны точки A и B и прямая a, пересекающая отрезок AB, причем прямые a и AB не перпендикулярны. Постройте треугольник ABC, биссектриса угла C которого лежит на прямой a.

66*. Даны параллельные прямые b и c и точка A, не лежащая на них. Используя поворот, постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы точки B и C лежали соответственно на прямых b и c. Сколько решений имеет эта задача?

67*. Докажите, что любое преобразование подобия можно представить как последовательное выполнение центрального подобия и движения.

68*. Докажите, что применительно к треугольникам общее определение подобия фигур (п. 100) равносильно определению, данному в п. 78, т. е. если два треугольника подобны по общему определению, то они подобны и по определению из п. 78, и наоборот.

Математика: