Вопросы для повторения "Векторы и координаты"

1. Объясните, что такое ось координат, начало координат, положительная полуось, отрицательная полуось.

2. Что называется координатой точки, лежащей на оси координат?

3. Докажите, что координата середины отрезка, лежащего на оси координат, равна полусумме координат концов этого отрезка.

4. Объясните, как вводится прямоугольная (декартова) система координат. Как называются оси координат?

5. Объясните, как определяются координаты точки в заданной прямоугольной системе координат. Как называются координаты точки?

6. Докажите, что каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов этого отрезка.

7. Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики.

8. Дайте определение вектора Как обозначаются векторы?

9. Какой вектор называется противоположным вектору ?

10. Объясните, какой вектор называется нулевым.

11. Что называется длиной вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

12. Какие векторы называются равными?

13. Что называется координатами вектора в прямоугольной системе координат?

14. Сформулируйте и докажите теорему о координатах равных векторов.

15. Объясните смысл выражения: «Вектор отложен от точки M». Докажите, что от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

16. Докажите, что длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат.

17. Выведите формулу, выражающую расстояние между двумя точками через координаты этих точек.

18. Объясните, что означают слова: «Угол между ненулевыми векторами и равен α».

19. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

20. Какие два вектора называются перпендикулярными? Выведите формулу, выражающую условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {x1; y1} и {x2; y2}.

21. Какое равенство называется уравнением данной линии в заданной прямоугольной системе координат?

22. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

23. Выведите уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0; y0) перпендикулярно к ненулевому вектору {a; b}.

24. Какое число называется угловым коэффициентом прямой в данной системе координат? Докажите, что если угловые коэффициенты двух прямых различны, то эти прямые пересекаются, а если одинаковы, то прямые параллельны.

25. Выведите уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

26. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов?

27. Докажите, что для любого вектора справедливы равенства: + = ; + (–) = .

28. Докажите, что каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

29. Какой вектор называется разностью двух векторов? Как выражаются координаты разности двух векторов через координаты этих векторов?

30. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах сложения векторов.

31. Какие векторы называются коллинеарными? В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?

32. В чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?

33. Какой вектор называется произведением данного ненулевого вектора на данное число, отличное от нуля?

34. Чему равно произведение k, если: а) = ; б) k = 0?

35. Докажите, что каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

36. Сформулируйте и докажите утверждение о свойствах умножения вектора на число.

37. Что называется скалярным произведением двух векторов?

38. Что такое скалярный квадрат вектора? Чему он равен?

39. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты.

40. Докажите, что скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

41. В каком случае скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно)?

42. Сформулируйте и докажите утверждение о свойствах скалярного произведения векторов.

43. Что означают слова: «вектор разложен по векторам и »? Что такое коэффициенты разложения?

44. Докажите, что если векторы и не коллинеарны, то любой вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.

45. Докажите, что если векторы и коллинеарны и , то существует такое число k, что = k.

46. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

47. Какое отображение плоскости на себя называется осевой симметрией? Какая прямая при этом называется осью симметрии?

48. Докажите, что при осевой симметрии сохраняются расстояния между точками.

49. Что означают слова «осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию»?

50. Какое отображение плоскости на себя называется движением?

51. Какое отображение плоскости на себя называется параллельным переносом на данный вектор?

52. Объясните, какое отображение плоскости на себя называется поворотом вокруг данной точки на данный угол? Какое отображение плоскости на себя называется центральной симметрией? Какая точка при этом называешься центром симметрии?

53. Какое отображение плоскости на себя называется центральным подобием (гомотетией)?

54. Какое отображение плоскости на себя называется преобразованием подобия? Какие фигуры называются подобными?

Математика: