Вопросы и задачи "Тела и поверхности вращения"

121. а) Найдите объем цилиндра, радиус которого равен 2 см, а высота равна радиусу.
б) Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Найдите отношение объема правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, к объему цилиндра.
в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра радиуса 2 см, если его высота вдвое больше длины окружности основания.
г) Найдите отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров, первый из которых получен вращением прямоугольника АВСD вокруг прямой АВ, а второй – вращением вокруг прямой ВС.

122. а) Найдите радиус цилиндра, если его объем равен 27π см3, а высота равна 3 см.
б) Найдите отношение объема цилиндра к объему правильной восьмиугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.
в) Отношение высоты цилиндра к его радиусу равно k. Найдите отношение площади поверхности цилиндра к площади его основания.
г) Отношение стороны АВ прямоугольника АВСD к стороне ВС равно k. Найдите отношение площадей поверхностей двух цилиндров, первый из которых получен вращением этого прямоугольника вокруг прямой АВ, а второй – вращением вокруг прямой ВС.

123. а) Найдите объем конуса, радиус основания которого равен 3 см, а высота вдвое больше радиуса основания.
б) Площадь боковой поверхности конуса равна 20π см2, а площадь основания – 16π см2. Найдите объем этого конуса.
в) Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 2. Найдите отношение площадей боковых поверхностей двух конусов, первый из которых получен вращением этого треугольника вокруг большего катета, а второй – вращением вокруг меньшего катета.

124. а) Найдите высоту конуса, объем которого равен 45π см2, а радиус основания вдвое больше высоты.
б) Площадь основания конуса равна π м2, а развертка его боковой поверхности представляет собой полукруг. Найдите площадь боковой поверхности и объем этого конуса.
в) Один конус получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой – вращением вокруг другого катета. Докажите, что отношение объемов этих конусов равно отношению площадей их боковых поверхностей.

125. а) Найдите радиус сферы, площадь которой равна 64π см2.
б) Найдите отношение площадей двух сфер, если отношение объемов ограниченных ими шаров равно 27.
в) Найдите отношение объема шара к объему конуса, у которого радиус основания равен радиусу шара, а высота вдвое больше радиуса шара.
г) Цилиндр получен вращением квадрата вокруг одной из его сторон. Докажите, что площадь поверхности цилиндра равна площади сферы, радиус которой равен радиусу цилиндра.
д) Площадь поверхности конуса равна площади сферы, радиус которой равен радиусу основания конуса. Найдите отношение образующей конуса к радиусу сферы.

126. а) Объемы двух шаров относятся как m3 : n3. Найдите отношение площадей их поверхностей.
б) Шар разрезали на два полушара. Площадь поверхности одного полушара равна 12π дм2. Найдите объем полушара.
в) Один катет прямоугольного треугольника вдвое больше другого Конус получен вращением этого треугольника вокруг меньшего катета Найдите отношение радиуса шара, объем которого равен объему указанного конуса, к радиусу основания этого конуса.
г) Цилиндр и конус имеют общее основание и высоты, равные радиусу их основания. Докажите, что сумма объемов цилиндра и конуса равна объему шара, радиус которого равен радиусу основания конуса.
д) Конус получен вращением прямоугольного треугольника с углом в 30º вокруг большего катета. Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса.