Вопросы и задачи "Многогранники"

117. а) Тело T, объем которого равен V, составлено из трех тел: T1, T2 и T3. Сумма объемов тел T1 и T2 равна V1, а сумма объемов тел T2 и T3 равна V2. Найдите объем тела T2.
б) Докажите, что боковые грани правильной пирамиды являются равными друг другу равнобедренными треугольниками.
в) Найдите площадь грани ABC тетраэдра ABCD, если ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 90º и DA = DB = DC = 6 см.
г) Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды PABCD, если ее высота равна h и ∠PAB = α.
д) Изобразите тетраэдр ABCD и на ребрах AB, BC и AC отметьте соответственно точки K, L и M так, чтобы AK = KB, BL = LC, AM ≠ MC. Постройте точку пересечения: прямой KM и плоскости BCD; прямой ML и плоскости ABD.
е) Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте на его ребрах AB и AC точки M и N так, чтобы AM : MB ≠ AN : NC. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M и N и точку пересечения медиан треугольника BCD.

118. а) Тело T составлено из трех тел: P, Q и R. Суммы объемов тел P и Q, Q и R, R и P соответственно равны V1, V2, V3. Найдите объем тела T.
б) Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей ее боковых граней) равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.
в) Найдите площадь грани ABC тетраэдра ABCD, если ∠ADB = ∠BDC = 60º, AC = BD = 4 см и AD = CD = 3 см.
г) Высота правильной треугольной пирамиды PABC с вершиной P равна h, ∠PAB = α. Найдите объем пирамиды.
д) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3, а боковое ребро равно 5. Найдите площадь боковой поверхности и объем этой пирамиды.
е) Изобразите тетраэдр ABCD и на его ребрах AB, AC и CD отметьте соответственно точки K, L и M так, чтобы AK : KB ≠ AL : LC. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью KLM.

119. а) Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей ее боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.
б) Ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину. Относятся как 2 : 3 : 6, а его диагональ равна 7. Найдите объем этого параллелепипеда.
в) Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами 3 см и 5 см и острым углом в 60º. Площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через большую диагональ основания и боковое ребро, равна 63 см2. Найдите площадь поверхности и объем параллелепипеда.
г) Все ребра наклонной призмы ABCA1B1C1 равны a и ∠A1AB = ∠A1AC = 60º. Найдите площадь сечения призмы плоскостью A1BC.
д) Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью ACA1. Какая фигура получится в сечении?
е) Точка E — середина ребра A1B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью ACE и найдите периметр сечения, если AB = BC = 8 см и AA1 = 3 см.

120. а) Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его ребер с общей вершиной.
б) Стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда относятся как 1 : 2 : 3, а боковое ребро равно 4 см. Найдите объем параллелепипеда и его диагональ.
в) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 диагонали B1F и B1E равны 15 и 17. Найдите площадь боковой поверхности и объем этой призмы.
г) Все ребра наклонной призмы ABCA1B1C1 равны a и ∠A1AB = ∠A1AC = 60º. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью AB1C1.
д) Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребрах AA1 и CC1 точки K и L так, чтобы AK = KA1 и CL ≠ LC1. Постройте точку пересечения: прямой KL с плоскостью ABC; прямой AL с плоскостью A1B1C1.
е) Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1, отметьте на ребрах B1C1, CC1, AB соответственно точки K, M, N и постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN.