Вопросы и задачи "Площадь многоугольника"

69. а) Точки M и N — середины сторон AB и AC остроугольного треугольника ABC, отрезки BH и CK — перпендикуляры, проведенные из точек B и C к прямой MN. Докажите, что четырехугольник BCKH и треугольник ABC равносоставлены.
б) Найдите периметр квадрата с площадью 25 см2.
в) Как изменится площадь прямоугольника, если: две противоположные стороны увеличить в k раз; все стороны увеличить в k раз; две противоположные стороны увеличить в k раз, а две другие стороны уменьшить в k раз?
г) Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересекает сторону BC в точке M. Найдите площадь прямоугольника, если BM = 3 см и MC = 4 см.
д) Найдите стороны прямоугольника с площадью 14 см2 и периметром 18 см.
е) Квадрат и прямоугольник, отличный от квадрата, имеют одинаковые периметры. Площадь какой из этих фигур больше?
ж) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

70. а) Через вершину B и середину боковой стороны CD трапеции ABCD проведена прямая, пересекающая прямую AD в точке E. Докажите, что трапеция и треугольник ABE равносоставлены.
б) Периметр прямоугольника равен 40 см, а одна из его сторон равна 2 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого этому прямоугольнику.
в) Одна из сторон прямоугольника, равновеликого квадрату с периметром 40 см, равна 5 см. Найдите другую сторону прямоугольника.
г) На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка M. Известно, что MC = 6 см и ∠BCM = 60º. Найдите площадь квадрата.
д) Докажите, что площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.
е) Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
ж) Прямые, содержащие диагонали невыпуклого четырехугольника, взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь этого четырехугольника равна половине произведения диагоналей.

71. а) Высота CH треугольника ABC равна 10 см. Найдите высоту, проведенную к стороне AC, если AB = 12 см и AC = 15 см.
б) Докажите, что медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника.
в) Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
г) На стороне AB треугольника ABC с площадью 25 см2 отмечена точка M так, что AM : MB = 2 : 3. Найдите площадь треугольника ACM.
д) Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
е) Расстояние от точки O пересечения диагоналей трапеции ABCD до прямой AB, содержащей ее боковую сторону, равно 6 см. Найдите площадь треугольника COD, если AB = 5 см.
ж) Докажите, что площадь треугольника ABC равна (abc)/(4R), где a = BC, b = CA, c = AB, R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
з) Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что произведение площадей треугольников AOB и COD равно произведению площадей треугольников AOD и BOC.

72. а) К стороне треугольника, равной 16 см, проведена высота, равная 11 см. Найдите другую сторону, если высота, проведенная к ней, равна 8 см.
б) Докажите, что если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, разделяет треугольник на два равновеликих треугольника, то этот отрезок — медиана треугольника.
в) Докажите, что если угол одного треугольника составляет в сумме с углом другого 180º, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих указанные углы.
г) Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M, площадь треугольника ABM равна S. Найдите площадь треугольника ABC.
д) Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников AMB и CMD не зависит от положения точки M.
е) Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, треугольники AOB и COD равновелики. Докажите, что AD || BC.
ж) Докажите, что площадь треугольника ABC равна 2R2 sin A sin B sin C, где R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
з) Прямые AC и BD, содержащие диагонали невыпуклого четырехугольника ABCD, пересекаются в точке O. Докажите, что произведение площадей треугольников AOB и COD равно произведению площадей треугольников AOD и BOC.

73. а) Точки M и N — середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехугольник AMND и треугольник ABC равновелики.
б) Сравните площади прямоугольника и параллелограмма, отличного от прямоугольника, если стороны прямоугольника соответственно равны сторонам параллелограмма.
в) Отрезок BH — высота параллелограмма ABCD. Найдите площадь этого параллелограмма, если ∠A = 45º, AH = 2 см и HD = 3 см.
г) Докажите, что квадрат площади параллелограмма ABCD равен AB2 * AD2 – ( * )2.

74. а) Точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехугольники ABLN и ADMK равновелики.
б) Углы и периметр ромба соответственно равны углам и периметру параллелограмма, отличного от ромба. Сравните площади этих четырехугольников.
в) Найдите углы параллелограмма с площадью 24 см2, если его высота, проведенная из вершины, делит основание параллелограмма на отрезки 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла.
г) Докажите, что площадь параллелограмма ABCD равна |x1y2 – x2y1|, если векторы и имеют координаты {x1; y1} и {x2; y2}.

75. а) Высота равнобедренной трапеции с площадью 60 см2 и периметром 50 см равна 3 см. Найдите боковую сторону трапеции.
б) Отрезки AD = 7 см и BC = 3 см — основания трапеции ABCD с площадью 25 см2. Найдите площадь треугольника ABC.
в) Один из углов равнобедренной трапеции с площадь 12 см2 равен 45º, а одно из ее оснований вдвое больше другого. Найдите высоту трапеции.
г) Меньшая диагональ прямоугольной трапеции с высотой 4 см перпендикулярна к одной из боковых сторон и делит угол между другой боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.
д) Диагонали трапеции ABCD с основанием AD пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники ABO и CDO равновелики.
е) Найдите площадь равнобедренной трапеции, высота которой равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

76. а) Высота прямоугольной трапеции с площадью 50 см2 и периметром 32 см равна 5 см. Найдите боковые стороны трапеции.
б) В трапеции ABCD с площадью 28 см2 основание AD равно 9 см, площадь треугольника ABC равна 10 см2. Найдите BC.
в) Один из углов равнобедренной трапеции равен 45º, а ее большее основание и высота равны 5 см и 2 см. Найдите площадь трапеции.
г) Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD с основанием AD пересекаются в точке M, ∠A = 60º, AM = m, средняя линия трапеции равна a. Найдите площадь трапеции.
д) Найдите площадь трапеции ABCD с основанием AD, если площади треугольников ABC и ABD равны S1 и S2.
е) Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.