Вопросы и задачи "Геометрические преобразования"

23. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный треугольник при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов.
б) Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси.
в) Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. На прямой a постройте точку M, для которой сумма MA + MB принимает наименьшее значение.

24. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный четырехугольник при симметрии относительно данной оси.
б) Докажите, что при осевой симметрии прямая, перпендикулярная к оси, отображается на себя.
в) Точка A лежит внутри острого угла. На сторонах этого угла постройте точки B и C так, чтобы периметр треугольника ABC принимал наименьшее значение.

25. а) Докажите, что при движении отрезок отображается на равный ему отрезок.
б) Докажите, что при движении треугольник отображается на равный ему треугольник.
в) Докажите, что при движении прямая отображается на прямую.
г) Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

26. а) Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.
б) Докажите, что при движении луч отображается на луч.
в) Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.
г) Докажите, что при движении параллелограмм отображается на параллелограмм.

27. а) На медиане BD треугольника ABC отмечены точки M и N. Постройте фигуру, на которую отображается треугольник ABC при параллельном переносе на вектор .
б) На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD построены квадраты — один извне, другой изнутри. Докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.
в) Докажите, что равносторонний треугольник при повороте на 120º вокруг своего центра отображается на себя.
г) На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отмечены точки L, M и N так, что LM || AC и MN || AB. Докажите, что точка M и середины отрезков BN и CL являются вершинами равностороннего треугольника.
д) Постройте фигуру, на которую отображается данный треугольник при центральной симметрии относительно данной точки.

28. а) Даны вектор и точка M, не лежащая на прямой AB. Используя только циркуль (и не используя линейку), постройте точку M1, в которую переходит точка M при параллельном переносе на вектор .
б) Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
в) Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 120º вокруг своего центра отображается на себя.
г) В окружность вписаны равносторонние треугольники ABC и A1B1C1, вершины которых обозначены так, что направление обхода по дуге ABC от точки A к точке C совпадает с направлением обхода по дуге A1B1C1 от точки A1 к точке C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 либо проходят через центр окружности, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
д) На одной из сторон данного параллелограмма отмечена точка. Используя только линейку, постройте точку, симметричную этой точке относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма.

29. а) Постройте треугольник, который отображается на данный треугольник при центральном подобии с данным центром и коэффициентом 2.
б) Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M, точки A2, B2 и C2 — середины отрезков A1M, B1M и C1M. Используя центральное подобие, докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
в) Докажите, что если стороны двух неравных треугольников соответственно параллельны, то существует такое центральное подобие, при котором один из них отображается на другой.

30. а) Постройте фигуру, на которую отображается данный параллелограмм при центральном подобии с центром в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом 1/3.
б) Используя центральное подобие, докажите, что точка пересечения медиан AA1, BB1, CC1 треугольника ABC, центр вписанной в треугольник окружности и центр окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, лежат на одной прямой.
в) Докажите, что для любых двух окружностей существует такое центральное подобие, при котором одна из них переходит в другую.