Вопросы и задачи "Координаты точки и координаты вектора"

1. а) Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисунке 55, если AO = a и CO = h.
б) Точка A лежит на положительной полуоси Ox, а точка B — на отрицательной полуоси Oy. Найдите координаты точки M пересечения диагоналей прямоугольника OACB, если OA = 4 и OB = 5.
в) Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты точки A, если B (4; 7) и M (–3; –2).
г) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (0; 0), B (3, 4) и C (5; 9).
д) Даны точки A (2; 3) и B (4; 5). Найдите координаты точек C и D, если известно, что точка B — середина отрезка AC, а точка A — середина отрезка CD.
е) Вершина A трапеции OABC лежит на положительной полуоси оси Oy, а вершина C — на положительной полуоси Ox. Найдите координаты вершин и середин диагоналей трапеции, если OA = AB = 3 и OC = 5.
ж) Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M. Найдите координаты вершин C и D, если A (0; 0), B (3; 0) и M (–2; –1).
з) Даны точки A (3; 6), B (2; 9), C (7; 8) и D (8; 5). Докажите, что отрезки AC и BD пересекаются и точки пересечения делятся пополам.

2. а) Абсцисса вершины A равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисунке 55, равна –3, а ордината вершины C равна 4. Найдите AB и BC.


б) Точка A лежит на положительной полуоси Ox, а точка B — на отрицательной полуоси Oy. Найдите координаты точки M пересечения диагоналей прямоугольника OACB, если OA = a и OB = b.
в) Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты точки A, если B (a + 1; b – 1) и M (1; b).
г) Диагонали квадрата ABCD пересекаются в начале координат. Найдите координаты точек B, C и D, если A (5; 0).
д) Точка B — середина отрезка AD, точка C — середина отрезка BD. Найдите координаты точек A и D, если B (–2; 1) и C (–5; –3).
е) Вершина A трапеции OABC с основанием AB лежит на положительной полуоси Oy, а вершина C — на отрицательной полуоси Ox. Найдите координаты вершин и середин диагоналей трапеции, если OA = 4, AB = 8 и OC = 2.
ж) Найдите координаты вершин B и C ромба ABCD, если ∠BAD = 30º, A (0; 0), D (6; 0), а ордината вершины B отрицательна.
з) При каких значениях a и b отрезки AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, если A (1; 2), B (–2; 5), C (a; 6) и D (–4; b)?

3. а) Докажите, что если = , то = .
б) Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Назовите вектор с началом D, равный вектору –.
в) Определите вид четырехугольника ABCD, в том случае когда = – и AC ⊥ BD.
г) Через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AD и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что = , если = .

4. а) Докажите, что если = , то = .
б) Четырехугольник ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения его диагоналей. Назовите вектор с началом O, равный вектору –.
в) Определите вид четырехугольника ABCD, в том случае когда AB || CD и .
г) Через вершину A и середину стороны BC четырехугольника ABCD проведена прямая, пересекающая прямую CD в точке M. Докажите, что = , если = .

5. а) Как связаны между собой ненулевые координаты векторов и –?
б) Найдите координаты вектора ab_vec, если: A (3; –1) и B (2; –1); A (–2; 6) и B (3; –1).
в) Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Можно ли на прямой AC от точки A отложить вектор, равный вектору ?
г) От точки M, лежащей внутри треугольника ABC, отложены векторы = , = и = . Докажите, что MNPQ — параллелограмм.
д) Даны точки A (3; –1), B (2; 3), C (7; 0) и D (8; –4). Докажите, что = . Равны ли векторы – и ?

6. а) Докажите, что если = и = , то = .
б) Вектор имеет координаты {–2; 3}. Найдите координаты точки: A, если B (0; 5); B, если A (2; 4).
в) Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Можно ли на прямой AB от точки B отложить вектор, равный вектору ?
г) От точки M, лежащей вне равностороннего треугольника ABC, отложены векторы = , = и = . Докажите, что MP ⊥ NQ.
д) При каких значениях a и b выполняется равенство = , если A (–1; 3), B (a; 5), С (0; –3) и D (1; b)?

7. а) Найдите длины векторов {3; –2}, {2√3; –6}, {0; 0}.
б) Даны точки M (–4; 7) и N (0; –1). Найдите длину отрезка MN и расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
в) Даны точки A (2; 5) и B (1; –1). Найдите координаты точки M, лежащей на оси Ox, для которой MA2 = 2MB2.
г) Найдите угол между векторами: {2; –2} и {3; 0}; {√2; √2} и {–3; –3}.
д) Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки A (1; –1), B (1 + 2√2; –1) и C (–1; 1).

8. а) Найдите ||, если: A (–1; 0) и B (1; –2); A (–35; –17) и B (–32; –13).
б) Даны вершины треугольника: A (0; 7), B (8; –8) и C (–8; 4,5). Найдите сторону AB и медиану CM.
в) Найдите координаты точек, равноудаленных от точек A (2; 3) и B (3; 4) и расположенных на осях координат.
г) Найдите угол между векторами {–2,5; 2,5} и {–5; 5}; {–1; 2} и {6; 3}.
д) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, его периметр и углы, если A (0; 0), B (3; 0) и C (4; √3).

9. а) Напишите уравнение окружности с центром C (2; –3) радиуса 5.
б) Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением (x – 2)2 + (y + 4)2 = 20. Проходит ли эта окружность через начало координат?
в) Напишите уравнение окружности с центром A (3; 4), проходящей через точку B (5; 2).
г) Даны точки A (–1; 6) и B (–1; –2). Докажите, что отрезок AB — диаметр окружности, заданной уравнением (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16.
д) Даны точки A (1; 3), B (–1; 1) и C (2; 2). Определите вид треугольника ABC и найдите координаты центра и радиус описанной около него окружности.
е) Точка C — середина отрезка AB, равного 4. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM2 + BM2 + CM2 = 35.

10. а) Напишите уравнение окружности с центром C (–2; –4) радиуса ½.
б) Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением (x + 1)2 + (y – 2)2 = 40. Проходит ли эта окружность через точку A (5; 0)?
в) Даны точки A (2; –3) и B (–8; 7). Напишите уравнение окружности с диаметром AB.
г) Докажите, что линия, заданная уравнением x2 – 8x + y2 + 15 = 0, является окружностью, и найдите координаты ее центра и радиус.
д) Даны точки A (1; 3), B (1; –3) и C (–3; 0). Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.
е) Точка C — середина отрезка AB, равного 4. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM2 – 2BM2 + 5CM2 = 3.

11. а) Найдите уравнения прямых AB и CD, если A (1; –1), B (–3; 2), C (2; 5) и D (5; 2). Найдите угловые коэффициенты этих прямых. Пересекаются ли эти прямые?
б) Точки A (2; 2), B (4; 8) и C (–6; 10) — вершины параллелограмма ABCD. Напишите уравнение прямой AD.
в) Выясните взаимное расположение прямой y – x – 4 = 0 и окружности x2 + y2 = 8.

12. а) Точки A (1; 3), B (3; 1), C (5; 5) и D (7; 15) — вершины трапеции ABCD. Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции, и уравнение прямых, содержащих ее основания. Сравните угловые коэффициенты этих прямых.
б) Основание перпендикуляра, проведенного из начала координат к прямой, имеет координаты (3; 4). Напишите уравнение этой прямой.
в) Хорда окружности x2 + y2 = 1 лежит на прямой 4y + 3x – 4 = 0. Найдите длину этой хорды.

Математика: