Задачи повышенной трудности "Введение в стереометрию"

220. Прямые AB и CD не пересекаются и не параллельны. Могут ли прямые AC и BD быть параллельными?

221. В тетраэдре ABCD углы ADB, ADC и BDC прямые. Докажите, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

222. В тетраэдре ABCD сумма углов с вершиной A (т. е. углов BAC, CAD и DAB) равна 180º. Докажите, что грани этого тетраэдра равны друг другу.

223. Изобразите куб и постройте такое его сечение, которое является: а) правильным треугольником; б) квадратом; в) правильным шестиугольником.

224. Может ли сечение параллелепипеда быть правильным пятиугольником?

225. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет поймать муху, сидящую в одном из самых удаленных от паука вершин куба. Изобразите кратчайший путь паука и найдите длину этого пути, если ребро куба равно a.

226. Внутри выпуклой призмы выбрана точка. Докажите, что сумма объемов пирамид, основания которых боковые грани призмы, а вершинами является выбранная точка, не зависит от выбора этой точки.

227. Внутри правильного тетраэдра выбрана точка, и из нее проведены перпендикуляры к плоскостям его граней. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров не зависит от выбора точки.

228. Отметьте четыре вершины куба так, чтобы они были вершинами правильного тетраэдра.

229. Плоскости AB1C1 и A1BC разделяют треугольную призму ABCA1B1C1 на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей.

230. Наибольшая площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину, в 2 раза больше площади сечения, содержащего высоту конуса. Найдите угол между осью конуса и образующей.

231. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a и высотой h вращается вокруг прямой, проходящей через вершину пирамиды параллельно стороне ее основания. Найдите объем тела, полученного при этом вращении.

Математика: