Задачи повышенной трудности "Площадь"

182. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

183. а) Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прямых AB, BC и CA равна высоте треугольника. б) Внутри правильного шестиугольника ABCDEF отмечена точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников ABM, CDM и EFM равна сумме площадей треугольников BCM, DEM и FAM.

184. Точки P и Q — середины сторон BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезок PQ разделяет четырехугольник ABCD на два равновеликих четырехугольника. Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

185. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, и найдите его площадь, если площадь данного треугольника равна S.

186. На каждой из сторон параллелограмма отмечена точка так, что площадь четырехугольника с вершинами в этих точках оказалась равной половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей этого четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

187. Через середину M стороны BC треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны угла BAC в точках P и Q. Докажите, что площадь треугольника APQ не меньше площади треугольника ABC.

188. Дан неразвернутый угол AOB. Что представляет собой множество всех точек M, для каждой из которых треугольники OAM и OBM равновелики?

189. Прямая, проходящая через середины диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках E и F. Докажите, что треугольники ABF и CDE равновелики.

190. Внутри треугольника ABC с прямым углом C отмечена точка M так, что треугольники ABM, BCM и CAM равновелики. Найдите отношение (AM2 + BM2) : CM2.

191. Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает прямую AB в точке E, отрезок CD — биссектриса этого треугольника. Докажите, что площадь треугольника ABC равна среднему арифметическому площадей треугольников ACD и CDE тогда и только тогда, когда AC = 2BC.

192. Точка D делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1 : 4, считая от точки B, отрезок AD пересекает медиану BM в точке E. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника BDE?

193. На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G и H так, что FH || AB, EG || BC. Докажите, что точка O пересечения отрезков EG и FH лежит на прямой AC тогда и только тогда, когда четырехугольники BFOE и DHOG равновелики.

194. Точки E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AF, BG, CH и DE образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.

195. Докажите, что площадь трапеции ABCD равна произведению длины боковой стороны AB и перпендикуляра, проведенного из середины стороны CD к прямой AB.

196. Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разделяют треугольник на три треугольника, площади которых равны S1, S2 и S3, и три параллелограмма. Найдите: а) произведение площадей параллелограммов; б) площадь данного треугольника.

197. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Среднее арифметическо и среднее геометрическое площадей треугольников BOC и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.

198. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь треугольника ODC есть среднее геометрическое площадей треугольника OBC и OAD тогда и только тогда, когда AD || BC.

199. Точка лежит на окружности, описанной около четырехугольника ABCD. Докажите, что произведение расстояний от этой точки до прямых AB и CD равно произведению расстояний от нее до прямых BC и AD.

200. На основании AD трапеции ABCD отмечены точки M и N так, что четырехугольник MBCN — параллелограмм. Прямая AC пересекает отрезки BM и BD в точках P и O, а прямая BD пересекает отрезок CN в точке Q. Докажите, что площадь пятиугольника MPOQN равна сумме площадей треугольников APB, BOC и CQD.

201. Меньшее основание AD прямоугольной трапеции ABCD равно a, боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 2a, точка M — середина отрезка CD, угол CBM равен α. Найдите площадь трапеции ABCD.

202. На сторонах AB и AD выпуклого четырехугольника ABCD отмечены точки E и F так, что четырехугольник AECF — параллелограмм. Прямые BF и DE пересекаются в точке M. Докажите, что четырехугольники AEMF и CBMD равновелики.

203. На стороне AB выпуклого четырехугольника ABCD отмечены точки M и N так, что AM = MN = NB, а на стороне CD — точки P и Q так, что CP = PQ = QD. Докажите, что площадь четырехугольника MNPQ в 3 раза меньше площади четырехугольника ABCD.

204. Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, отрезки AN и DM пересекаются в точке P, а отрезки BN и CM — в точке Q. Докажите, что площадь четырехугольника MQNP равна сумме площадей треугольников APD и BQC.

205. На продолжении стороны AB параллелограмма ABCD за точку B отложен отрезок BM. Прямые MC и AD пересекаются в точке N. Докажите, что площадь треугольника ABC равна среднему геометрическому площадей треугольников MBC и NCD.

206. Докажите, что площадь S произвольного четырехугольника ABCD со сторонами AB = a, BC = b, CD = c, DA = d удовлетворяет неравенству S ≤ ½ (ac + bd).

207. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

208. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках, симметричных данной точке относительно середин сторон данного четырехугольника с площадью S.

209. Выпуклый четырехугольник с площадью S разбит диагоналями на четыре треугольника. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения медиан указанных треугольников.

210. Докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в окружность, выражается формулой , где p — полупериметр, а a, b, c, d — стороны четырехугольников.

211. Отрезки AM и CN — высоты остроугольного треугольника ABC, точка O — центр описанной окружности. Угол ABC равен β, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите сторону AC.

212. Докажите, что при любом n длина окружности больше периметра Pn вписанного в нее 2n-угольника, но меньше периметра Qn описанного около нее 2n-угольника.

213. Около треугольника ABC с прямым углом C описана окружность. Дуга ACB этой окружности и две полуокружности с диаметрами AC и CB, расположенные вне треугольника, ограничивают две луночки (на рисунке 118 они закрашены). Докажите, что сумма площадей этих луночек равна площади треугольника.

214. На отрезке LN отмечена точка M, точки A, B и C — середины полуокружностей с диаметрами LM, MN и LN. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной указанными полуокружностями, к площади треугольника ABC. Рассмотрите все возможные случаи расположения точке A, B и C относительно прямой LN.

215. Диаметры AB и CD данного круга взаимно перпендикулярны. На дуге ACB взяты произвольные точки P и Q, а внутри круга проведена дуга AB окружности с центром в точке D. Хорды DP и DQ пересекаются с этой дугой соответственно в точках M и N, точки P1 и Q1 — основания перпендикуляров, проведенных из точек P и Q к прямой AB. Докажите, что площадь криволинейного четырехугольника PQNM (фигура, закрашенная на рисунке 119) равна площади треугольника DP1Q1.

216. Постройте ромб, площадь которого равна площади данного квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

217. Через данную точку внутри угла проведите прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник наименьшей площади.

218. Начертите круг и постройте две окружности с тем же центром, разделяющие круг на три равновеликие части.

219. Постройте границу круга, площадь которого равна: а) площади данного полукруга; б) площади данного кругового сектора с дугой в 60º.

Математика: