Дополнительные задачи "Введение в стереометрию"

§ 24

127. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в 4 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер.

128. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке.

129. Найдите площадь сечения правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1, если АС = 12 и АА1 = 4.

130. Основаниями прямой призмы служат трапеции с основаниями a и b. Середины сторон этих трапеций являются вершинами куба. Найдите объем этой призмы.

131. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна Я. Через боковое ребро проведена плоскость, разделяющая призму на две части, объемы которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

132. На ребрах DA = 4, DB = 6 и DC = 5 тетраэдра АВСD отмечены точки А1, В1, и С1 так, что DA1 = 1, DB1 = 3 и DC1 = 2. В каком отношении плоскость A1B1C1 делит объем тетраэдра?

133. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.

134. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

135. Докажите, что сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.

136. Изобразите тетраэдр АВСD и отметьте точки P, Q и R соответственно на ребре АВ, внутри грани АВС и внутри грани ВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью PQR.

137. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВ1D и А1ВС, а также общий отрезок этих сечении.

138. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1, отметьте точки К, L, М соответственно на ребре А1В1, на ребре АА1, внутри грани A1B1C1D1 и постройте сечения параллелепипеда плоскостью KLM.

139. На рисунке 113 изображена развертка правильного тетраэдра. Перерисуйте ее в большем масштабе на плотный лист бумаги, вырежьте и склейте тетраэдр.

Развертки тетраэдра, куба и октаэдра

140. На рисунке 114 изображена развертка куба. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги, вырежьте и склейте куб.

141. На рисунке 115 изображена развертка правильного октаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги, вырежьте и склейте октаэдр.

142. На рисунке 116 изображена развертка правильного додекаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги, вырежьте и склейте додекаэдр.

Развертки додекаэдра и икосаэдра

143. На рисунке 117 изображена развертка правильного икосаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги, вырежьте и склейте икосаэдр.

§ 25

144. В правильную треугольную призму вписан цилиндр (т. е. основания цилиндра вписаны в основания призмы). Найдите площадь поверхности цилиндра, если сторона основания призмы равна 2√3, а боковое ребро равно 3.

145. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если дуга ее развертки равна 240º, а высота конуса равна 5√5.

146. Трапеция АВСD с основанием АD, в которой ∠А = 90º, АВ = ВС = a и AD = 2a, вращается вокруг прямой АD. Найдите площадь поверхности тела, образованного при этом вращении.

147. Ромб с диагоналями, равными 6 и 8, вращается вокруг прямой, содержащей сторону ромба. Найдите площадь поверхности тела, образованного при этом вращении.

148. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус (т. е. их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды). Найдите отношение объемов конуса и пирамиды.

149. Найдите объем конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду со стороной основания, равной 6, и высотой, равной 4.

150. Объем шара равен 36π. Найдите площадь поверхности полушара.