Дополнительные задачи "Площадь"

§ 22
81. Докажите, что многоугольник, описанный около окружности, равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра многоугольника, а другая – радиусу окружности.

82. Окружность касается стороны АВ = c и продолжении сторон ВС = a и СА = b треугольника АВС. Докажите, что этот треугольник равновелик прямоугольнику, одна из смежных сторон которого равна ½(a + b – c), а другая – радиусу окружности.

83. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая равна b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны взаимно перпендикулярны.

84. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

85. Через вершину квадрата проведите две прямые так, чтобы они разделили его на три равновеликих многоугольника.

86. Найдите площадь выпуклого четырехугольника АВСD, если АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DА = 15 см, АС = 12 см.

87. Докажите, но медианы треугольника разделяют его на шесть равновеликих треугольников.

88. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки L, М и N так, что AL : LB = BM : MC = CN : NA = 1 : 2. Найдите площадь треугольника LMN, если площадь треугольника АВС равна S.

89. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

90. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников – вписанного в окружность и описанного около нее.

91. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус r вписанной окружности; б) через радиус R описанной окружности.

92. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей параллелограмма с площадью 900 см2 к большей стороне, делит ее на отрезки, равные ЗЗ см и 12 см. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

93. Диагонали равнобедренной трапеции со средней линией, равной a, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

94. Через вершину В и середину диагонали АС равнобедренной трапеции АВСD проведена прямая, пересекающая основание АD в точке М. Найдите площадь треугольника ВDМ, если АМ = 5 см, DМ = 12 см, АВ = 10 см.

95. Диагональ равнобедренной трапеции равна 13 см, а ее высота равна 12 см. Найдите площадь трапеции.

96. Диагональ ВD трапеции АВСD равна боковой стороне АВ и перпендикулярна к ней, АD = a, ВС = b. Найдите площадь трапеции.

97. Основания АD и ВС трапеции АВСD делят перпендикулярный к ним отрезок РQ на три равные части. Найдите площадь трапеции, если площади треугольников АDQ и ВСР равны S1 и S2.

98. Диагонали трапеции АВСD с основанием АD пересекаются в точке О, площади треугольников АОD и ВОС равны 12 см2 и 3 см2. Найдите площадь трапеции.

99. Окружность с диаметром АD описана около трапеции АВСD. Найдите углы трапеции, если ее диагональ равна 6, а площадь равна 9.

100. Диагональ ВD равнобедренной трапеции АВСD перпендикулярна к боковой стороне АВ, АD = a, ∠А = α. Найдите площадь трапеции.

101. Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О, площади треугольников ВОС, СОВ и АОD равны соответственно 5 см2, 10 см2 и 15 см2, АВ = 6 см, АО = 5 см Найдите ∠ВАО.

102*. Докажите, что а) из всех треугольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник; 6) из всех треугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

§ 23

103. Наидите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна a, а острый угол равен α.

104. Из точки М к окружности проведены отрезки касательных МА и МВ. Вторая окружность касается дуги АВ и отрезков МА и МВ. Найдите длину второй окружности, если дуга АВ равна 120º и ее длина равна l.

105. Найдите длину окружности, описанной около: а) прямоугольного треугольника с катетами a и b; б) равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b.

106. При окружности с длинами с касаются друг друга. Найдите длину окружности, касающейся каждой из них извне.

107. Четыре окружности с длинами с касаются друг друга так, что каждая из них касается ровно двух других. Найдите длину окружности, касающейся каждой из них извне.

108. Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведенной к основанию.

109. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

110. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

111. К окружностям радиусов r и Зr, касающимся друг друга извне, проведена общая касательная так, что окружности лежат по одну сторону от нее. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезком этой касательной и двумя дугами окружностей, меньшими полуокружностей.

112. Отрезок СН – высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе, АС = b, ВС = a, а длина окружности, вписанной в треугольник АСН, равна l. Докажите, что площадь круга, вписанного в треугольник BCH, равна (a2l2)/(4πb2).

113. Радиус кругового сектора равен R, а его дуга равна 60º. Окружность касается радиусов ОМ и ОN, ограничивающих сектор, в точках А и В, а его дуги в точке С. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками ОА и ОВ и дугой АСВ.

114. Постройте границу круга, площадь которого в 4 раза меньше площади данного круга.

115. Постройте границу круга, равновеликого фигуре, ограниченной двумя данными окружностями, одна из которых лежит внутри другой.

116. Постройте границу круга, площадь которого равна сумме площадей трех данных кругов.