Осевая симметрия

Пусть a — данная прямая. Каждой точке M сопоставим симметричную ей относительно прямой a точку M1 (рис. 67). В результате каждой точке M будет сопоставлена некоторая точка M1, и каждая точка M1 окажется сопоставленной некоторой точке M, т. е., как говорят, будет задано отображение плоскости на себя. Оно называется осевой симметрией, а прямая a — осью симметрии.

Осевая симметрия является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками. Поясним смысл этих слов.

Пусть A и B — какие-нибудь точки, A1 и B1 — точки, симметричные им относительно прямой a. Тогда A1B1 = AB.


Для доказательства этого утверждения введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 68.

Так как


то AB = A1B1, т. е. расстояние между любыми точками A и B равно расстоянию между сопоставленными им точками A1 и B1. Это и означает, что осевая симметрия сохраняет расстояние между точками.

Отсюда следует, что при осевой симметрии каждый отрезок отображается на равный ему отрезок.

Действительно, пусть A и B — какие-нибудь точки и точка M лежит на отрезке AB. Точки A1, B1 и M1 симметричны этим точкам относительно прямой a. Так как точка M лежит на отрезке AB, то

AM + MB = AB,

а поскольку осевая симметрия сохраняет расстояние между точками, то

A1B1 = AB, A1M1 = AM и M1B1 = MB.

Из этих равенств получаем:

A1M1 + M1B1 = A1B1,

поэтому точка M1 лежит на отрезке A1B1, т. е. при осевой симметрии любая точка отрезка AB переходит в некоторую точку отрезка A1B1.

И наоборот, в каждую точку M1 отрезка A1B1 переходит некоторая точка M отрезка AB (а именно точка M, симметричная точке M1 относительно прямой a). Таким образом, отрезок AB отображается на отрезок A1B1; эти отрезки равны, так как AB = A1B1.

Следовательно, при осевой симметрии прямая отображается на прямую, луч — на луч, а треугольник — на равный ему треугольник. Поэтому и угол отображается на равный ему угол.


Здесь целесообразно внести уточнение. Обратимся к рисунку 69, на котором изображены угол AOB и угол A1O1B1, симметричный углу AOB относительно прямой l. Рассмотрим сначала угол AOB. Мы видим, что кратчайший поворот вокруг точки O от OA к OB совершается по часовой стрелке. Обратимся теперь к углу A1O1B1. В нем кратчайший поворот вокруг точки O1 от O1A1 к O1B1 совершается против часовой стрелки.

Обычно это свойство осевой симметрии формулируют так:

  • осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию.