Предмет стереометрии

До сих пор мы занимались планиметрией — изучали свойства геометрических фигур на плоскости. Раздел школьного курса геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

В стереометрии наряду с плоскими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Можно сказать, что геометрическое тело — это часть пространства, отделенная от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Например, футбольный мяч имеет форму геометрического тела, называемого шаром, а консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром. Границей шара является сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов (оснований цилиндра) и боковой поверхности.

Шар, цилиндр и куб

Кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников (в стереометрии под многоугольником, как правило, понимается фигура, состоящая из сторон многоугольника и его внутренней области). Такие поверхности называются многогранниками. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями, стороны граней — ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. На рисунке 93 изображен многогранник, составленный из шести равных квадратов. Он называется кубом. Куб имеет шесть граней, двенадцать ребер, восемь вершин и четыре диагонали.

Куб

Плоскость, по обе стороны от которой есть точки тела, называется секущей плоскостью этого тела (рис. 94). Фигура, представляющая собой общую часть тела и секущей плоскости, называется сечением тела (см. рис. 94).

Секущая площадь и сечение

Величина части пространства, занимаемой геометрическим телом, называется объемом этого тела. Как мы помним, в качестве единицы измерения площадей обычно используют квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. В качестве единицы измерения объемов обычно берут куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Процесс измерения объемов тел аналогичен процессу измерения площадей. Он позволяет выразить объем данного тела некоторым положительным числом, показывающим, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в этом теле.

Объемы тел обладают свойствами, аналогичными основным свойствам площадей:
1. равные тела имеют равные объемы;
2. если тело составлено из нескольких тел (так, что внутренние области любых двух из этих тел не имеют общих точек, см. рис. 95), то его объем равен сумме объемов этих тел.

Составленное тело

Свойства 1 и 2 называются основными свойствам объемов.

В этой главе мы рассмотрим некоторые виды геометрических тел и приведем формулы, по которым вычисляются их объемы и площади поверхностей. При этом мы будем опираться на наглядные представления. Доказательства соответствующих утверждений будут приведены в систематическом курсе стереометрии, изучаемом в 10-11 классах.

Математика: