Площадь треугольника

Условимся одну из сторон треугольника называть основанием, а под словом «высота» будем подразумевать ту из высот треугольника, которая проведена к этому основанию.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с основанием BC, равным a, и высотой AH, равной h. Докажем, что площадь S треугольника равна ½ a * h.

Пусть, например, ∠B ≥ ∠C. Возможны три случая: точка H совпадает с вершиной B треугольника (рис. 83, а); точка H лежит между точками B и C (рис. 83, б); точка H лежит на продолжении стороны BC (рис. 83, в).

Определение площади треугольника

В первом случае площадь S треугольника ABC равна половине произведения его катетов, т. е.

S = ½ a * h;

во втором случае

S = ½ CH * h + ½ BH * h = ½ a * h;

в третьем случае

S = ½ CH * h – ½ BH * h = ½ a * h.

Теорема доказана.

Следствие. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между этими сторонами.

В самом деле, поскольку высота AH треугольника ABC равна AB sin B (используя рисунок 83, докажите это), то S = ½ AB * BC * sin B.