Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство. Докажем, что площадь прямоугольника ABCD со сторонами AB = a и AD = b равна ab.

Рассмотрим сначала прямоугольник AB1C1D, сторона AB1 которого равна единице измерения отрезков (рис. 81, а). Ясно, что единица измерения площадей (т. е. квадрат со стороной 1) и ее части (прямоугольники с двумя сторонами, равными AB1, и двумя другими сторонами, равными (1/10)AD1, (1/100)AD1 и т. д.) укладываются в прямоугольнике AB1C1D столько раз, сколько раз единица измерения отрезков (отрезок AD1) и ее части ((1/10)AD1, (1/100)AD1 и т. д.) укладывается в отрезке AD, т. е. b раз. Следовательно, площадь этого прямоугольника выражается числом b.

Определение площади прямоугольника

Аналогично прямоугольник AB1C1D и его части укладываются в прямоугольнике ABCD столько раз, сколько раз единица измерения отрезков (отрезок AB1) и ее части укладываются в отрезке AB (рис. 81, б), т. е. a раз. Следовательно, площадь прямоугольника ABCD отличается от площади прямоугольника AB1C1D в a раз, т. е. она равна ab. Теорема доказана.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

В самом деле, рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, равными a и b (рис. 82, а), а также прямоугольник, смежные стороны которого равны a и b (рис. 82, б).

Площадь прямоугольного треугольника

Диагональ этого прямоугольника разделяет его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых равен данному по двум катетам. Следовательно, площадь данного треугольника равна половине площади прямоугольника, т. е. равна ½ ab.

Следствие 2. Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности: S = pr, где p — половина периметра треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Это следует из утверждения о равносоставленности треугольника и прямоугольника, п. 101.

Если два многоугольника подобны с коэффициентом k (см. п. 100), то квадрат со стороной, равной 1, укладывается в одном из них столько раз, сколько раз квадрат со стороной, равной k, укладывается в другом. Поскольку площадь квадрата со стороной, равной k, равна k2, то можно сделать вывод:

  • отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.