Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство. Докажем, что площадь прямоугольника ABCD со сторонами AB = a и AD = b равна ab.

Рассмотрим сначала прямоугольник AB1C1D, сторона AB1 которого равна единице измерения отрезков (рис. 81, а). Ясно, что единица измерения площадей (т. е. квадрат со стороной 1) и ее части (прямоугольники с двумя сторонами, равными AB1, и двумя другими сторонами, равными (1/10) AD1, (1/100) AD1 и т. д.) укладываются в прямоугольнике AB1C1D столько раз, сколько раз единица измерения отрезков (отрезок AD1) и ее части ((1/10) AD1, (1/100) AD1 и т. д.) укладывается в отрезке AD, т. е. b раз. Следовательно, площадь этого прямоугольника выражается числом b.

Аналогично прямоугольник AB1C1D и его части укладываются в прямоугольнике ABCD столько раз, сколько раз единица измерения отрезков (отрезок AB1) и ее части укладываются в отрезке AB (рис. 81, б), т. е. a раз. Следовательно, площадь прямоугольника ABCD отличается от площади прямоугольника AB1C1D в a раз, т. е. она равна ab. Теорема доказана.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

В самом деле, рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, равными a и b (рис. 82, а), а также прямоугольник, смежные стороны которого равны a и b (рис. 82, б).

Диагональ этого прямоугольника разделяет его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых равен данному по двум катетам. Следовательно, площадь данного треугольника равна половине площади прямоугольника, т. е. равна ½ ab.

Следствие 2. Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности: S = pr, где p — половина периметра треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Это следует из утверждения о равносоставленности треугольника и прямоугольника, п. 101.

Если два многоугольника подобны с коэффициентом k (см. п. 100), то квадрат со стороной, равной 1, укладывается в одном из них столько раз, сколько раз квадрат со стороной, равной k, укладывается в другом. Поскольку площадь квадрата со стороной, равной k, равна k2, то можно сделать вывод:

  • отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *